小结名师教学设计1

《统计案例小结》教学设计

（人教A版高中数学选修1-2第一章）

——

田俊领

永年区第二中学

【教学目标】

知识与技能：理解最小二乘法的思想，会求回归方程；理解独立性检验的原理。

过程与方法：通过与实际生活相关的实例引入，透彻掌握求回归方程的每一个细节，现场采集数据进行独立性检验，让学生体会从实际背景中抽象出数学问题的过程。

情感、态度与价值观：充分让学生展示自我,让学生在实战演练中自主归纳类题通法,在实际操作中体会基于课本的重要性。

【教学重点】求回归方程，会进行独立性检验

【教学难点】非线性回归方程转化为线性回归方程

【教材分析】1、本节在学习数学必修3的基础上，进一步研究了两个变量的关系。通过散点图直观了解两个变量的关系，然后通过最小二乘法建立回归模型，最后分析残差，相关指数评价模型的好坏。如果模型比较好的刻画了两个变量的关系，对自变量的某个值，就可以通过模型预测相应因变量的值。

2、统计方法是可能犯错误的，通过体会独立性检验的基本思想，理解统计思维与确定性思维的差异。

【学情分析】

(1)我所任教的班是高三文科快班,学生能够熟练掌握求回归直线和独立性检验的一般步骤。

(2)学生个性活泼,但作为文科学生,他们的总结能力强,自我探究能力差,本节注重挖掘学生潜能,并尽可能让问题简单化,清晰化。

【教学过程】

1.

实例引入：有人认为：脚越大，人越高，这种说法有科学依据吗?脚长和身高有什么关系？

【设计意图】让学生从实例中发现数学问题，提高学生探究的热情。

2.

探究模型，回顾基本内容

要求：

（1）以小组为单位统计脚长和身高，列表并作散点图观察回归模型；

鞋码

34 脚长

22 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 27.5 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 （2）展示脚长预报身高的模型制作过程；

参考公式：



ˆ=b(xi=1ni-x)(yi-y)=ixyii=1nni-nxy2(xi=1n,-x)2xi=12i-nxˆˆ=y-bxa

（3）通过模型预报一名脚长为31cm的篮球运动员的身高

（4）分析残差图，并用相关指数评价回归模型；

学生活动：展示模型制作过程，按要求解决以上问题，并总结求回归方程的一般步骤。

【设计意图】通过问题式教学，让学生亲身体会求回归方程的每一个细节，真正理解公式的代入过程，通过自己处理数据和比较各组不同的散点图和回归方程，理解怎样用相关指数评价模型的好坏。

3.自主抢答

（1）已知某种商品的广告费用支出X（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据

x 2 4 5 6 8

y 30 40 50 60 70

用最小二乘法得到y与x的线性回归方程为y6.5x17.5 ，则表中m为__________ 

变式1：已知某种商品的广告费用支出X（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据

x y 2 30 4 40 5 50 ^6 m 8 70 xa，

用最小二乘法得到y与x的线性回归方程为

y6.5

据此模型，预测广告费用为10万元时销售额为_________

变式2：根据上表中数据，回归直线一定经过的点是_________ （2）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）1yx12的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线

上，则这组样本数据的样本相关系数为

（

）

（A）－1

（B）0

（C）

（D）1 （3）下列说法正确的是（

）

A．相关指数R2越大的模型，拟合效果越好

B．回归直线的斜率都大于零

C．相关系数r越大，线性相关性越强

D．相关系数r∈（-1，1）

【设计意图】学生熟练解答回归方程的常见问题，明确回归方程的各个量的作用。

4.精研精析高考题

（2017年全国卷1）19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

零件尺寸

经计算得

1 2 3 4 5 6 7 8 9.95 9 10.26 10.12 10 9.91 9.96 11 10.13 9.96 12 10.02 10.01 13 9.22 9.92 14 10.04 9.98 15 10.05 10.04 16 9.95

求相关系数

r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若

，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

学生同桌合作探究：同桌之间互相交流，练习数据处理能力和应用意识。

2015年高考19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8 表中w1 =

x

1ww

=8

nii1I）根据散点图判断，方程

与

，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为

根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费

时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费

为何值时，年利润的预报值最大？

u

2

,vu

1,

v附：对于一组数据

(

1

)，

(

2

)，……，(

u

n

,

v

n

)

其回归线

v









u

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

n

=vu

=(uu)(vv)iii1(uu)ii1n2小组讨论探究：小组合作，代表展示结果。

【设计意图】通过非线性回归方程转化成线性回归方程总结其余形式是否都能化归成线性问题进行解决。

教师活动：引导学生进行思考：非线性模型能否转化为线性模型用最小二乘法进行求解

2如二次模型？

ycx2c12

如指数模型？

令txyctczcxlnc令zlny

21

yc1ecx



1225.

当场实验

根据以上高考题的做题情况，现场采集数据，能否有90%的把握认为男女生在数据处理能力上有差异？

独立性检验参考公式

nad－bc2K＝(其中n＝a＋b＋c＋d) a＋bc＋da＋cb＋d2

P(K2≥k)0.500.4550.400.7080.251.3230.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828k

【设计意图】利用独立性检验问题，让学生体会出题的过程，是纯数据问题与选题背景的结合，从而锻炼学生在实际问题中抽象出数学问题的能力。

学生活动：

总结独立性检验的一般步骤：

(1)列2×2列联表；

(2)根据列联表计算K2的观测值；

(3)根据K2的观测值与临界值的大小关系作统计推断．

6.归纳小结，提高认识

六7.作业

2016年全国卷Ⅲ（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附：板书设计

统计案例小结

身高体重散点图

参考公式

回归性检验