阅读与思考 海伦和秦九韶获奖说课稿

高中数学必修五

第一章《解三角形》

阅读与思考

海伦与秦九韶(教学设计) 广元中学数学组

王鑫

教学基本信息

课题：海伦和秦九韶 教学背景分析

教学内容分析：

（1）海伦和秦九韶为人教版必修五第一章末阅读与思考的内容，

古代数学家海伦和秦九韶分别提供了三角形的面积公式，这是对学生目前已掌握的用“底乘以高除以2”和“余弦定理、S1absinC”来2求解三角形面积的方法的延展补充。在学习该课的过程中，渗透“逻辑推理、数学运算”等数学核心素养，为今后进一步学习其它知识打下坚实的基础。

（2）数学史料题在近年来的各地高考中大量出现。这节课中引入史料知识，非常适合在史料激励中渗透德育，在学习的过程中感受炎黄子孙的智慧，感受伟大民族的荣光，爱国主义教育自然水到渠成。

学生情况分析：

学生在学了第一章《解三角形》后，对解三角形有了一定的了解和把握，可利用正、余弦定理解三角形、求三角形的面积。但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――好奇心,有意识地让学生预习、演算，发现问题。对新知识的教授，即秦九韶的“三斜求积术”和海伦公式的推导，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。对古代数学所取得的辉煌成就，学生并不了解，所以也要让他们接触历史资料，让学生充分感悟、体味，以增强民族自豪感，增强自信，提升学习动力。

设计思想：

树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生以已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先由历史上中西方在解决同一个问题（三角形的面积计算）时使用的不同方法这种文化差异，,激发学生的好奇心，启发学生思维的活动，并结合史料视频让学生了解史实，思考、论证、表述，体现学生的自主性和活动性，同时让他们感受炎黄子孙的智慧，提升民族自豪感，激发爱国热情，进行爱国主义教育；然后，设计一些问题情境（用不同方法推导得出秦九韶“三斜求积术”和海伦公式并在例题和练习中对公式进行运用），用以渗透数学思想，培养核心素养。随着学生的知识和信息不断丰富，向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境（课外延展）以供学有余力的同学实现个性发展。

凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发和收获。

教学目标(内容框架) 教学目标：

（1）知识与技能：掌握海伦公式和秦九韶的“三斜求积术”并解决三角形的面积问题。 （2）过程与方法：先通过史料视频学习中西方解决三角形面积问题的方法，了解古代中西方文化的差异，再通过学生参与小组合作讨论、探索得出一般结论，并在例题和练习中学以致用。在过程中培养学生的逻辑推理能力，提升数学运算能力，体验等价转化思想的意义和价值，并在潜移默化中进行爱国主义教育。

（3）情感态度价值观：引导学生积极参与到课堂活动当中，培养其严谨务实的个性品质和交流合作能力，

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第一章《解三角形》

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激发学生学习数学的兴趣和热情。了解中国古代和古希腊的一些文化成果，感受中西方的文化差异，提升民族自豪感、增强自信，培养爱国主义情怀，促进身心健康发展。

教学重点：

在史料视频中了解历史，在小组合作中学习秦九韶的“三斜求积术”

和

海伦公式。

教学难点：

秦九韶的“三斜求积术”

和

海伦公式的证明

教学过程

教师的教学活动控制

目标设疑（约2分钟）

南宋《数书九章》中田域类问题：三角形三边长分别为13,14,15，求该三角形面积。

历史上的数学家如何秒杀三角形的面积？

学生的学习活动预设

设计意图

所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。教师必需尊重学生的主体性，因此设置疑问，让学生自己发现问题和不足，激发学生探索新知的兴趣和欲望，愉悦学习。

用余弦定理、S

1absinC求解。

2

课堂探究活动：

学生观看视频，从视频新教材为引导学生自主发现、1.对比中西方的求解方法（约8分钟）

中了解秦九韶所用的求三角探索留有比较充分的空间，在教学（1）秦九韶的“三斜求积术”

形面积的方法。

从视频中了解秦九韶所秦九韶(三斜求积术).mp4

取得的辉煌成就，并将之与西方的类似成果进行时间上的对比，了解先辈的智慧和数学家秦九韶的故事.mp4

他们创造的奇迹，感受蓬勃

向上、不断进取的中华精神。

（2）海伦公式

从视频中了解海伦所使用的方法和公式，并了解古希腊文化。

海伦的故事.mp4

2.秦九韶的“三斜求积术”和海伦公式

的证明（约10分钟）

以问题为驱动，小组交222122acb2流预习成果，在合作互助中S[ac()]

42探讨用余弦定理或勾股定理

证明秦九韶的“三斜求积术”等

和海伦公式，并将两者等价价

转化，形成结论，推举代表Sp(pa)(pb)(pc)展示成果。由于证明方法灵

abc活、运算量大，可能会有纰其中p2漏，教师再补充完善。

中我们应充分利用这些空白空间，将目标问题化，问题设疑化，过程趣味化，让空白的地方丰富多彩。此处辅以史料视频直观演示能使教学更具生动性，让学生了解炎黄子孙所创造出的伟大成就，直观感受中西方的文化差异与较量，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，增强民族自信，提升民族自豪感，在潜移默化中对他们进行爱国主义教育，促进他们主动学习和身心健康发展。

恰当的问题情境，能引发学生的认知冲突，，激发他们的求知欲和探索精神，引导学生主动思考。公式的证明涉及本课题的核心内容，为攻克该难点，要给学生充足的探究时间。让学生在公式的证明过程中提升逻辑推理和数学运算的能力，体验等价转化的价值，实现难点的化解与突破，同时培养学生的科学态度和理性精神。

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3.例题剖析，演练巩固（约17分钟）

例1.已知三角形的三条边分别是13,14,15.求三角形的面积. 学生利用刚刚学习的海伦—秦九韶公式，结合之前例2.若a2sinC4sinA，掌握的正弦定理、余弦定理及不等式的知识解决问题。(ac)212b2，请用“三斜求积”公过程中小组交流探讨，互学式求△ABC的面积. 互帮。要着重过手落实，加练习1：在ABC中，若a+b=12，深理解，巩固本节课所学习的知识。

然后由学生代表总c=8，请用海伦公式求ABC面积结表达，全班展示，分享成的最大值. 果，互议互评，教师补充完练习2：在ABC中，若b2，善。

sinC3sinA，请用秦九韶公式（三斜求积术）求ABC面积的最大值.

4. 课堂小结，回顾反思（约3分钟）

（1）．知识要点

（2）．情感收获

总结学习内容和情感收获，归纳学习方法，提升数学思想，提升自信，完成总结评价。

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学地思考，数学能力的提高离不开解题，解题教学重点是向学生暴露思维过程和展示学生的思维过程。例1要求两个公式分别求解，例2则与正弦定理结合，练习题与基本不等式、二次函数结合。题目以阶梯式呈现，层层深入，给不同层次的学生不同的收获。过程中要给学生较为充分的时间探究和解决问题，教师在评讲时，有意识地剖析逻辑推理过程、渗透等价转化思想，从而达到传授知识、提升学生能力的目的。

整理基本内容，形成知识体系，提升数学思想，使本节内容不再浮于表面。总结精神情感收获，感受蓬勃向上的中华精神，进一步提升民族自豪感，增强自信。

5.

课外深化、延伸探究：

将海伦公式推广到有外接圆的四边形，设a，b，c，d是四边形的学有余力或有兴趣的同学可进一步进行延伸研究，实现个性化Sp(pa)(pb)(pc)(pd)各边长，记，这里发展。

abcd. p2

6.作业巩固，融会贯通

（1）定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的

作业是学生信息的反馈，教师四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶可以在作业中发现学生在学习中四边形的为（

）

存在的问题，弥补教学中的不足，进一步巩固提升学生的能力。

（2）现有周长为225的△ABC满足

sinA:sinB:sinC21:5:21，试用秦九韶的“三斜求积术”

公式求得△ABC的面积为

.

(3).已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1,MB>1,以A

为中心顺时针旋转点M，以B为中心旋转N，使MN两点重合为点C，

构成三角形ABC，求三角形ABC面积的最大值。



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教学反思

（1）对教学内容的归纳反思：

本节课由于涉及历史上中西方不同的数学家发现了等价的数学公式，因此我不仅让学生从数学角度去研究三角形的面积问题，还让他们历史的角度对相关成果和中西方文化差异进行了解。不仅仅让学生学到新的数学知识，提升了数学运算能力、逻辑推理能力，还让学生从历史故事中体会到中西文化的差异与碰撞,感受先辈们的智慧，感受蓬勃向上的中华精神，在潜移默化中对学生进行爱国主义教育。

（2）对学生数学学习活动的归纳反思：

师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到有趣的、层层深入的数学学习过程中，从而提高数学水平，养成良好的学习态度和习惯。

（3）对数学教学活动的归纳反思：

教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，能突出重点、化解难点；其二，善于运用现代化教学手段，调动学生的学习积极性；其三，关注学生，及时鼓励，充分发挥学生主体作用；其四，渗透数学思想方法，提高综合运用能力；其五，对学生进行爱国主义教育，提升民族自豪感，增强自信。在实际教学中应因材施教，尽量让他们身心各方面健康发展。

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