1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学教案设计

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

花都区邝维煜纪念中学 罗海琼

一、学习目标：

1、了解利用列联表、等高条形图来判断两个分类变量之间是否有关系;

2、探究“吸烟是否与患肺癌有关系”的问题，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤; 3、会对2×2列联表进行独立性检验；并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。

教学重点：通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤。

教学难点：独立性检验的基本思想。

二、教材分析

本节课通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，介绍了独立性检验的基本思想和初步应用。“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否有关的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。独立性检验的思想是建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上。

虽然本节是新增内容，理论比较复杂，涉及到大学的知识，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，体现出数学应用教育价值，故地位不可小视. 该内容是学生前面学习的《必修三》中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前一节内容《回归分析的基本思想及其初步应用》（研究两定量变量的相关性）相呼应，此外还涉及到《选修1-2》中的“反证法”思想.

通过本节课的学习使文科学生认识到统计方法在决策中的作用，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容之一，是素质教育的重要组成部分。随着现代信息技术飞速传播和发展，人们每天都会接触到影响生活的统计信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

三、学情分析

本节课是在学习了必修三种的统计、前一节的回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。但“反证法”学生后面才能学到，因此在教学中用“反证法原理”类比“独立性检验的原理”删去，改为学生能接受理解的生活中的例子。同时学生在理解“在犯错误的概率不超过的前提下”，也是初学者较难理解的问题，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的(用生活中的例子（反证法），如果始终不发生，就是不可能事件了)，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，即下这个结论不是百分百正确的。我通过下面这1

个例子来帮助学生理解“在犯错误的概率不超过的前提下”。在这个例题中“在犯错误的概率不超过0.047的前提下（即有0.953的把握）”认为这种药是有效的。

生活原理

独立性检验原理

新药是否有效的例子

独立性检验原理

四、教学方式

多媒体辅助（ＰＰＴ、EXCEL表格等）问题启发模式（问题串的形式）

五、教学过程

创设情境，引入新课

教学环节

创设情境

引出

在假设H0（H0：班上没有学生带手机）下，如果推出一个矛盾（老师发现有学生玩手机），就证明了H0不成立。

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

某地区的羊患有某种病的概率是0.4，且每只羊是否患病是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选6只羊做试验，结果6只羊服用此药后均未患病。你认为这种药是否有效？现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为(10.4)60.047

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

提出问题，探究新知

等高条形图

两个分类变量之间的关系

列联表

独立性检验

师生活动

设

计

意

图

创设一个实际问题情境，既提出本节课研究的问题，又使学生有亲切感，调动学生的学习热情。上课伊始，教师给出如下材料：

新闻报道：美国一位名叫艾莲的女士把烟草公司巨头告上法庭，理由是她的丈夫长期吸烟，导致其身患肺癌死亡。她向烟草公司索要1.3亿美元的巨额赔偿金。她会胜诉吗？

生：思考，讨论上述的问题。

2

新课

同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．

师：我们如何研究吸烟与患肺癌有关？

生：思考，回答。

师：假如我们想通过调查，考察吸烟是否与患肺癌有关，那我们需要用到什么样的数据？

生：思考，回答。

师：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

吸烟与患肺癌列联表 表1—7

单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 师：怎样利用吸烟和患肺癌列联表中的数据，判断吸烟与患肺癌是提否有关呢？

出探究：吸烟是否对患肺癌有影响？

问1.分类变量

题

分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的

，像这样的分

类变量称为分类变量。如：

探2.列联表

究这样列出的两个分类变量的________，称为列联表

新一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2×知

2列联表。

问题1：你认为吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计

①

不吸烟者中患肺癌的比例为____；

②

在吸烟者中患肺癌的比例为 。

得出结论：

还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

3

通过这个简单的问题，希望使能学生们打开思路，同时领略到数学是有用的，数学与生活息息相关。

通过列联表、等高条形图粗略判断“吸烟与患肺癌”有关

从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

分类变量，列联表、等高条形图这些知识点比较简单，不是重点内容，所以在教学中介绍下即可。

新

知

呈

现

分

组

讨

论

新

知

解

读

（1）等高条形图能说明什么？

(2)通过数据、图形分析，我们的直观判断“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否可靠呢？

问题2：你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

阅读P11—12，明确独立性检验的基本思想及步骤：

第一步：我们先假设H0:吸烟与患肺癌没有关系。

思考：在这个假设下，应该有什么样的结论？

列联表（用字母表示）

表1-8：

提出思考问题，

阅读教材，通过分组讨论由学生自己引出随机变量K公式中的部分结构。

有利于学生理解随机变量K，2

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

ac

b

d

bd

ab

cd

abcd

2探究1：adbc的大小能说明了什么？

2第二步：根据公式（P11公式（1））计算随机变量K的值

为下面提出随机

探究2：K的大小能说明什么？

2变量K做好铺2垫。

9965(777549422099)256.632这个值到探究3：k78172148987491底能告诉我们什么呢？

第三步：下结论：

回到艾莲的诉讼中，她能胜诉吗？

师：同学们通过数据和图形分析，直观判断“吸烟和患肺癌有关”，独立性检验的思但这种直观判断的不足之处在于不知道有多大的把握认为这二者想是本节课的教有关呢？而独立性检验则可以弥补这个不足。

师：先假设H0：两个分类变量无关（独立），在H0成立的条件下，能推导出a,b,c,d之间有怎样的关系？

生：分组讨论，推导出在H0成立的条件下有师：通过上述推导得到，那么直观上

学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能，为表示其差异性，将其转化成的大小能说明什么？

够直观感受，更是直接参与讨论4

启

发

探

究

生：值越小，两个分类变量关系越弱；值越大，和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、两个分类变量关系越强。

师：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，统计学家们经n(adbc)2K(ab)(ac)(cd)(bd)，过研究后构造了一个随机变量其中2nabcd为样本容量。K2的大小又能说明什么？

生：思考，回答“K越小说明两个变量越独立（无关），K越大说明两个变量越不独立（有关）”。

22归纳能力以及小组协作的意识。

临界值表提到前师：问题在假设“H0：两个变量无关”下，K的观测值k应该很小，但多小才算小呢？

师：这时需要一个衡量大小的临界值k0。统计学家们总结出如下的卡方临界值表：

P(K≥k0) k0

P(K≥k0) k0

222面来讲解，这样能使学生了解随机变量K的含义，并能体会到如果K的观测值很大，就认为两个分类变量是有220.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 以k0=6.635为例，件下，计算出随机变量，就是说在H0成立的条的观测值大于等于6.635的概率不超过关系，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫。

独立性检验的原理不好理解，学生又没有学习反证法，在这里我帮助学生举了两个例子来类比例子，其中一个例子比较生活化，比较好理解，但0.01，也就是有99%的情况下其观测值是小于6.635的。

师：是一个小概率事件（一般不会发生）

那么你能举出生活中的小概率事件吗？

师：在“H0：两个变量无关”下推出一个小概率事件，说明什么问题，哪里出错了？

生：假设H0出问题了，也就是说“吸烟与患肺癌有关”。

师:这个结论是百分百对的吗？会出错吗？

师：如果由样本数据计算出的随机变量的观测值小于临界值6.635，又应该如何下结论呢？

师：以我们目前班上比较关心的手机问题为例，假设我们班没有人玩手机，那么在这个前提下

5

（1）

老师发现有学生玩手机，应该如何下结论；

（2）

老师没有发现学生玩手机，应该如何下结论；

师：某地区的羊患有某种病的概率是0.4，且每只羊是否患病是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选6只羊做试验，结果6只羊服用此药后均未患病。你认为这种药是否有效？

初看起来，大家会认为这种药一定有效，因为服药的羊均未患病。但由于羊患病的概率是0.4，因此大部分羊不服药也不会患病。也就是说，很难断定这6只羊是因为服药才未患病的。究竟怎样下结论呢？

我们可以这样来考虑：在“药无效”这个前提下，考察“6只羊都不患病”这个事件发生的可能性的大小，如果能够确定这个事件发生的概率很小，而现在这件事确实发生了，那么就说明“药无效”这个前提不应该成立，即应该是药有效。因此我们需要在“药无效”这个前提下，计算6只羊都不患病的概率大小。

思考：你能总结一下上述想法的依据吗？

现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为

不能以多大的把握认为结论的正确性，又举了数学化的例子帮助学生理解独立性检验的原理，需要一定的概率计算的基础知识。需要学生小组讨论消化理解。

(10.4)60.047

这是一个小概率事件。这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的。

生：理解教师的讲解，参与到思想方法的理解中。

上面这种利用随机变量K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。

师：从“吸烟与患肺癌是否有关”这个典例出发，尝试归纳独立性检验的一般步骤。

生：观察，思考，回答。独立性检验的一般步骤：明确问题→2

确定犯错误概率的上界及的临界值→收集数据→整理数

据→制列联表→计算统计量的观测值→比较观测值与临界

归

值并给出结论.

“独立性检验”的具体做法步骤为：

纳

第一步： ；

提

第二步： ；

第三步： 。

升

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值k0：

根据计算出随机变量K的值k，其值越大，说明两个分类变量X与Y有关系的可能性越大。

6

2归纳整理独立性检验的一般步骤. 深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤。

如果k如果k10.828，就有_____的把握认为两个分类变量X与Y有关系；

与Y有关系；

 ，就有99.5%的把握认为两个分类变量X如果k2.706，在90%的把握下不能认为两个分类变量X与Y有关系。（在样本数据中没有发现足够证据证明X与Y有关系）

考察我们班性别与是否喜欢数学课程之间的关系,得到如下列联新表： 单位：人

知应

喜欢数学课程

不喜欢数学课程

总计

用

男

现

女

场

调总计

查

能否有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间

有关系？

师：收集数据、用EXCEL做等高条形图、讲解

生：思考、计算、作图

课后1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

作2. 完成学案中的两道题。

业

六、板书设计

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1、分类变量 学生展示探究成果

2、列联表

3、等高条形图

4、独立性检验

第一步：假设H0：“吸烟与患肺癌无关”

第二步：计算

k

第三步：下结论

7

通过现场调查，使学生进一步熟悉独立性检验能解决什么问题，解决步骤如何，还有解题过程的书写格式。体验数学在实际生活中的应用，增强学生的学习兴趣。

加深学生对独立性检验的理解，巩固提高所学知识，体会合作学习的有效作用。