1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案设计范例

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

巴东县第三高级中学

贺显孟

【教材分析】

本节课是人教A版选修1—2第一章第二节的内容。在本节课之前，学生已经学习过回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节，为以后学习统计理论奠定基础。

【教学目标】

1、知识与技能

通过典型案例的探究，使学生了解独立性检验的基本思想、方法、步骤及应用。

2、过程与方法

通过设置问题，与学生合作探究，一起体验独立性检验的方法。

3、情感、态度价值观

通过本节学习课的学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作探究的学习过程，使学生感受发现、探索的乐趣及成功展示成就感，培养学生学习数学知识的积极态度。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想及随机变量K2的含义。

【教学过程】

一、情景引入，提出问题

故事1：假设万能的上帝是存在的，那么上帝一定能“造一块他自己也搬不动的石头”

，但这块石头他自己也搬不动，这与他的万能相违背，所以假设不成立，万能的上帝是不存在的. 故事2：某次语文测验，小明同学的一道诗歌鉴赏题的作答与参考答案一模一样，语文老师就怀疑小明同学考试作弊了。判断理由如下：假设小明没有作弊，那么小明的作答与参考答案一模一样的可能性非常小，是一个小概率事件，所以语文老师有很大的把握认为小明同学作弊了. 问题：这两个判断是否正确？说说你的看法！

为了回答这个问题，就需要同学们用到独立性检验的基本思想，并为后面比较反证法与独立性检验打下基础。

二、新课讲授

（一）分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等. （二）合作探究

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775

2099

9874

患肺癌

42

49

91

总计

7817

2148

9965

（2X2列联表）

问题：在不吸烟样本中，患肺癌的比例是？

在吸烟样本中，患肺癌的比例是？

你的结论是？

把这组数据放到图表中，我们更能直观的感受它们的差异

（等高条形图）

比较图中两个红色条的高可以发现，在吸烟样本中，患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌

思考：这种判断可靠吗？你有多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

（三）独立性检验的过程

我们首先假设：

H0：吸烟与患肺癌没有关系

为了统计更具有一般性，把表中的数字换成字母

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

a

c

a+c

患肺癌

b

d

b+d

总计

a+b

c+d

a+b+c+d

若H0成立，则bd

abcdb(cd)d(ab)

bcad

即adbc0

因此，Iad－bcI越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

Iad－bcI越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，给予上面的分析，统计学中构造了一个随机变量：

K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)

其中nabcd

作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准：

若H0成立，则K2应该很小. 将表中的数据代入公式，计算得到K2的观测值为: 9965(777549422099)2k56.63278172148987491

思考:这个值到底是大还是小？评判的标准是什么？

统计学家经过多年研究，总结出了一个临界值表：

根据刚才的计算结果，在假设H0成立的情况下，

P(K210.828)0.001（如何理解？）

即在H0成立的情况下，K2的观测值超过10.828的概率非常小，近似为0.001，是一个小概率事件。也就是说H0这个假设是几乎不可能发生的。也就是说：

“H0发生”（吸烟与患肺癌没有关系）的概率是0.001；

“H0不发生”（吸烟与患肺癌有关系）的概率是0.999. 因此，我们可以说“有99.9%的把握认为吸烟与患肺癌有关系”，或者说“在犯错的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关系”。

思考：上面例子中还可以选用哪些临界值作为评判标准？如何下结论？

上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。这个检验过程就是独立性检验的思想。

（四）独立性检验的步骤

1、写出2×2列联表

2、利用公式计算K2的观测值k

3、根据事先给定的临界值k0查临界值表

4、比较k与k0的大小得出结论

三、独立性检验思想的初步应用

例：为了了解学生对冰球运动的兴趣，随机从某大学中随机抽取了100人，调查结果显示，女生中对冰球有兴趣的占2/3，男生55人中有10人对冰球没有兴趣.

完成以下列联表，并判断能否有90%的把握

认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”？

男

女

总计

有兴趣

没兴趣

10

总计

55

100

解：由题意得到如下列联表

男

女

总计

有兴趣

45 30 75 没兴趣

10

15 25 总计

55

45 100

根据列联表得到K2的观测值：

100(45151030)2100k3.0302.706

5545752533因此，我们有90%的把握

认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”. 四、比较反证法与独立性检验

1、反证法原理

首先假设结论不成立，如果推出了一个矛盾，就证明了假设错误，从而结论正确；

2、独立性检验原理

首先假设结论不成立，如果出现了一个与假设相矛盾的小概率事件，

就推断这个假设不成立，且犯错误的概率不超过这个小概率. 五、小结

六、板书设计

独立性检验

1、分类变量

2、2×2列联表

3、等高条形图

n(adbc)24、K

(ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd

5、步骤