2.2.4 点到直线的距离多媒体教案及点评

《点到直线的距离》教案

教学目标

1．教材分析

⑴

教学内容

《点到直线的距离》主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

⑵

地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

2．学情分析

学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．

3．教学目标

依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．

⑴

知识技能

①

理解点到直线的距离公式的推导过程；

②

掌握点到直线的距离公式；

③

掌握点到直线的距离公式的应用．

⑵

数学思考

①

通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；

②

通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；

③

通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

⑶

解决问题

①

通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；

②

由探索点P2,0到直线xy0的距离，推广到探索点Px0,y0到直线AxByC0A2B20的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．

1

⑷

情感态度

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．

一．

教学重点、难点

1．教学重点

⑴

点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵

点到直线的距离公式的应用．

2．教学难点

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．

2

三．教学过程

教学

环节

教

师

活

动

学

生

活

动

活 动

说 明

新课引入

探

创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？

1．

点到直线的距离公式的推导过程

（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）

问题1

如何求点P(2,0)到直线xy0现实模型：

①地质勘探、铁轨宽度、人模

型

离高压电线的安全距离

（图片欣赏）

直

观

②生活实例

（flash动画演示）

索

思

考

学生：过点P作l的垂线在复习垂足为Q，垂线段PQPQ，旧知的的长度就是点P到直线l的基础上距离．

引人新点P与直线l上所有点的课．

由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．

的距离？

连线中，垂线段最短．

教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计

算方法，结果是什么？

问题1 方法①

利用三角函数

学生作图后，结合图象，解：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q,

分组讨论怎样计算PQ．

方法①

利用三角函数

l:xy0,QOP45,P2,0,学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数22

来解决．

OP2,PQOPsin4522

y

l:xy0

教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角

三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以

可以利用三角函数来解决问题．但如果直线

Q

位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故

·

此法具有一定的局限性．

·

O

P2,0

x

方法②

利用定义

解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q.

方法②

利用定义

（由于前面复习了点到直l:xy0,P2,0,PQ:yx2,

线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问yxx1,x2x,.

题）

y2xy1学生：利用定义解决问题．

3

探

索

思

方法③

利用函数的思想

Q1,1,PQ21012.

（在前面复习中强调了垂方法③

利用函数的思想

线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值解：设直线l上的点Q(x0,y0)，则

的方法解决问题．）

学生：可以利用二次函数求dP直线lQPmin，

最小值的方法解决问题．

y

xy0,x0y00,

l:xy0

Q

·

2222

QP(x02)y0x04x04x0

22(x01)22.

Q

·

当x01时，取得等号，即点Q1,1.

·

教师：我们可将求点到直线的距离转化为两

O

P2,0

x

点之间的距离，再通过二次函数求最小值的

方法解决本题．

学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要强调：⑴点Q(x0,y0)在直线l上，故x0、y0满引导学生思考，取得等号时足直线方程；

点Q的坐标，并与前面两种⑵当等号成立时，指明此时点Q的坐标，并方法所得答案进行对比．

与方法②得到的点Q的坐标进行比较．

方法④

利用直角三角形

方法④

利用直角三角形的面积公式

的面积公式

22补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1．

考

方法③利用了类比化归的思想，为后面将两平行教师：由于PQl，所以我们还可以想到什学生：三角形面积公式．

么方法来计算呢？

教师：应该如何构造三角形呢？

学生：过点P作l、x轴的垂直线间线PQ、PR，构造RtOPR．

的y

距如何添作辅助线是学生的一个思维难

点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三

角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅

助线的添作方式．

离，转l:xy0

R

·

化为点到直线的距离奠定基解：过点P作l、x轴的垂线PQ、PR，交点

为点Q、R.

Q

·

O

·

P2,0

x

础．

P2，0，yx,R2,2,

OP2,PR2.RtOPR中，ORQPOPPR,

4 对于问题1的四种解法，强调数学生可能回答不完全，教师形结合要补充完整．

的思想

22QP22,QP2.

问题2

方法①

利用三角函数

改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2．

问题2如何求点P(4,2)到直线2xy20的距离？

（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．）

（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解．）

方法①

利用三角函数

25.5

2585PQSPsinQSP4.55PS4,tanQSP2,sinQSP

y

l:2xy20

Q

·

S

·

·

P4,2

x

O

方法②

利用函数的思想

类比问

探索思考

题1，让

y

设点Q(x0,y0)在直线上，则2x0y020.

学生独

l:2xy20

2立思考QP(x04)2y02

Q·

问题2

x028x0164x02·

的不同2P4,2

5x08x016

Q·2x

法．课O

46485

5x0.堂上只555



要求学4418

当x0时，取得等号，即点Q，．

5生说明55

方法②

利用函数的思想

方法③

利用定义

过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q.

l:2xy20,P4,2,PQ:y21x4,2

4xy2x215

,2x2x4,.1182yx4y25418Q,,5585418PQ42.5555 22

方法③

利用定义

y

l:2xy20

Q

·

·

P4,2

x

O

解题思路，而不要求解题过程．

方法④

利用直角三角形的面积公式

过点P作l、x轴、y轴的垂线PQ、PR，交点为点Q、R、S.

P4，2,l:2xy20,

方法④

利用直角三角形的面积公式

S

·

y

l:2xy20

R

·

R4,10,S0,2,

Q

·

·

P4,2

SP4,PR8,

RtSPR中，SRQPSPPR，45QP48,QP85

.5

O

x

在点到直线的距离公式的推导过程中，渗

探

问题3

如何求点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离（A2B20）？

问题3

索思考教师：你能否类比问题1、2解决本问？

教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？

教师：对于A0或B0的特殊情况，你可以怎样处理？

方法①

利用定义的算法思路

确定直线l的斜率kk0

1

求与l垂直的直线l的斜率k

k

求过点P垂直于l的直线l的方程

求l与l的交点Q

求点P与点Q的距离

得到点P到l的距离dPQ

6 y

Px0,y0

·

的思想

透算法·

Q

O

x

l:AxByC0

学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些．

方法①

利用定义的算法

学生分析解题思路，整理出算法框图．

学生的回答可能会忽略

k0即A0这个条件限制，教师要给予纠正并强调对于方法①，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程．

探

索思考方法②

利用直角三角形的面积公式的算法思路

教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？

过点P作x轴、y轴的垂线交l于点R、S

用x0、y0表示点R、S的坐标

求出PR、PS

利用勾股定理求出RS

根据面积相等知dRSPRPS

得到点P到l的距离dPQ

教师：根据得到的算法思路，请同学们自学直线l的斜率是否存在，主要取决于分母k是否为0，这也是对前面知识的巩固．

学生：对于A0或B0的特殊情况，可以结合图象直接得出结论．

方法②

利用直角三角形的面积公式的算法

学生：先添作辅助线，过点

对于方法②，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教P作x轴、y轴的垂线交l材的证于点S、R，再利用直角三明过角形的面积公式进行计算．

程，培养学生

l

y

的数学

P

阅读能

·

R·

力和获

取信息

·

的能

Q

力．

x

O

S

·

补充的

方法

方法③

利用平面向量的算教材P52的证明方法．

法

y

方法③

利用平面向量的算法思路

Px0,y0

教师：直线l的斜率是什么？

·



教师：若向量nl，你能表达n的一个坐标

吗？

·

Q

x

教师：设点Mx,y是直线l上任意一点，

O

·M

x,y

l:AxByC0

则PM的坐标是多少？

教师：设PM与n的夹角为，则PMn为多A学生：kB0

少？

B

学生容易忽略B0的限教师：结合图象，你能否表示出PQ？

制条件，教师给予纠正．

学生：nA,B

7 ③，建立在学生已有的平面向量知识的基础上．

课堂上只要求学生理清算法思路，而对于

设点Mx,y是直线l上任意

一点得PMxx0,yy0

对于法向量n的理解是这种方一个难点，同时学生得到的答案可能不统一．教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解．

法的具体解决过程，可作为求与l垂直的向量nA,B

学生：PMxx0,yy0

课后思设PM与n的夹角为得PMnPMncos

探

得到点P到l的距离dPMcos

PMnn

PMnPMncosxx0,yy0A,B

Axx0Byy0考业．

作

索学生：

补充的思PQPMcosPMnn方法③

得到dxx0,yy0A,BAx0By0C

A2B2A2B2

为今后在立体几何xx0,yy0A,BA2B2考

Ax0By0AxByA2B2Ax0By0CAB22中，利

用这种算法思路得到当A0或B0时，以上公点到平式仍然成立．

面的距学生容易忽略距离是一离公式个非负数，所以教师要强调设下伏PQPMcos应该加上笔．

前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．

问题解决绝对值符号．

师生共同总结：对于点到直2．点到直线的距离公式

线的距离公式的理解

点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离⑴

从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的Ax0By0C（其中A、B不同时为0）

点与直线上一点的连线的d22AB最短距离；

⑵

使用点到直线的距离公教师：你能否利用点到直线的距离公式解决式的前提条件，是把直线的问题1和问题2？并比较计算结果．

方程化成一般式方程．如果给出的直线方程不是一般

式方程，应先将方程化成一8

般式；

⑶若点P在直线上，则点P到直线的距离为零，距离公

式仍然成立；

⑷若直线方程中系数

A0或B0的特殊情况，

距离公式仍然成立，但一般

情况下可以结合图形直接

得到距离．

知

识运用

3．点到直线的距离公式的应用

例1

求点P0(1,2)到下列直线的距离：

师生共同讨论

例1

解：⑴根据点到直线

⑴2xy100;

⑵3x2;

例1中的距离公式，得

⑶、⑷⑶x3y7;

⑷y24x1.

2(1)210两个问33d22题是补21

分析：⑴2xy100;

充的内1025.可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝容，目5的是强对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一⑵解法①

因直线3x2化点到个非负数．

直线的平行于y轴，所以

距离公⑵3x2;

25式的应d(1).

教材上的解法是结合图形直接得到点到33用前提直线的距离，也可能会有学生是直接代人公解法②

根据点到直线的条件．

5式计算，教师指出对于A0或B0的特殊距离公式，得d.

3情况，一般结合图形直接得到结论．

⑶l:x3y7,

例1主⑶x3y7;

要是通

部分学生可能会对代入公式后计算得1327.过直接

,2落在直线上,0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考点P01将已知

点的坐此时点与直线的位置关系，指出当点落在直d0.另解：根据点到直线的距离标代人线上时公式仍然成立．

公式，得d0.

公式计2424算，强⑷yx1.

⑷l:yx1,

3333调公式在补充的问题⑷中所给出的直线方程l:4x3y20.

的形式不是一般式，所以在代人公式计算前，学生根据点到直线的距离公式，

记忆和必须将直线方程化为一般式，以便确定系数

前提条4132212A、B，从而达到强调公式运用前提的目的．

d.件．在25423此基础教师：使用点到直线的距离公式的前提条件

9

是把直线的方程化成一般式方程，如果给出例2

由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述的直线方程不是一般式方程，应先将方程化过程．

成一般式，以便确定系数A、B的值，这一学生：

⑴中a表示直线的斜率；

点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．

⑵中a表示直线在y轴上的

例2

⑴已知点A2,3到直线yax1的距离为2，求a的值；

⑵已知点A2,3到直线yxa的距离为2，求a的值．

教师：如何求实数a的值？

解：⑴

yax1,axy10,

知d2a31a122a2a122,识2a22a22,

运4a28a42a22,2a28a20,a32或a32.

⑵用yxa,xya0,d23a2a122,a12,a3或a1.

教师：这两问直线方程中参数a的几何意义是什么？

教师：两个小问的几何意义是什么？

（教师利用几何画板进行数学实验）

例3

求平行线2x7y80和

2x7y60的距离．

10 上，由浅入深，补充的例2中直线方程含有参数，进截距．

学生：这两个小问的几何意一步提高思维义分别是

难度．

⑴点A1,2到两条直线的

距离相等，所以点A在两条在例2直线所成角的角平分线上；

中，由于直线方程中的参数都具有明显的几何意义，所以在解

出参数⑵所得的两条直线互相平a的值行且距离为2．

后，要引导学生思考其几何意义．

补充的例题2

既考察了学生

对公式例3 的掌握学生：两条平行直线间的距情况，离处处相等；

又为下学生：将两平行直线之间的节课研距离转化为一直线上一点究对称到另一条直线的距离；

问题和学生：选择点P(3,0)．

直线系问题设学生：可以选择一般的点．

下伏解：设直线上一点P(x0,y0),

笔．

教师：这两条平行直线间的距离是否是固定2x07y060,的？

教师：如何求这两条平行直线间的距离？

d2x07y08

2教师：可以选择哪个点？

227解：在直线2x7y60上任取一点，例如P(3,0),则P(3,0)到直线2x7y80的

由例2⑵的几何意义可以引出教材的例题3．

例3采用了类比化归的思想方法，同时引出例4．

68531453.53知识运

距离就是两平行线间的距离．因此

23708141453d.

2253532(7)

教师：是否可以在直线2x7y60上取

一般的点Px0,y0来求距离？

推广到一般结论：

例4

师生共同总结：

例４

求证：两平行直线

⑴

应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形l2:AxByC20,l1:AxByC10,式，使对应系数A、B化为相等（两直线平行），再代C1C2(A,B0且C1C2)的距离为d.

人公式计算；

22AB⑵

两平行线间的距离可转证明：设点P(x0,y0)是直线AxByC20化为其中一条直线上的一

用

上任一点，则点P到直线AxByC10的个特殊点到另一条直线的例4教距离．

距离为d材中是以习题的形式出的．

（教材现Ax0By0C1AB22.

Ax0By0C20,Ax0By0C2,

dC1C2AB22.

两平行直线的距离公式：

P5415）

l1:AxByC10,l2:AxByC20,(A,B0且C1C2)的距离为dC1C2AB22.

教师：两平行线的距离公式不要求记忆．

在求两条平行线间的距离时，一般仍利用11

化归思想转化为直线上一特殊点到另一直课堂练习

线的距离来处理．

学生独立完成

课堂练习

求下列两条平行线的距离：

解：⑴

d213;

⑵d2;

⑴2x3y80,2x3y180;

⑶⑵3x4y10,3x4y0;

⑶3x12y,6x4y20.

补充的课堂练习⑶的目的3x2y10,6x4y20,

是，强d

113222213;

13调运用公式的前提条件．

学生容易解错：

3d13.

221332请其他同学分析错误原因．

12

课

堂小结

教师引导学生归纳总结本节课所学习的主学生归纳总结

要内容．

本课主要学习了以下内容：

⑴

点到直线的距离公式的推导中不课后作业

同的算法思路：利用定义的算法、利⑴

利用向量的方法证明点到直线的距离公用直角三角形的面积公式的算法、利式；

用平面向量的算法；

⑵

点到直线的距离公式：

⑵

教材P

13、14、16 习题7.354点P(x0,y0)到直线AxByC0

（通过小结，使学生将本节课所学的知识系（其中A、B不同时为0）的距离

统化，使学生再次巩固知识，明确方法．）

Ax0By0C

d22AB说明：对于A0或B0的特殊情况时公式仍然适用．

⑶

应用点到直线的距离公式的前提条件．

12

板书设计：

课题：点到直线的距离

．

问题1

如何求点P(2,0)到直线xy0的距离？

1

方法①

方法②

方法③

方法④

．

问题2

如何求点P(4,2)到直线2xy20的距离？

2

．

问题3

如何求点P(x,y)到直线AxByC0

300

A2B20）？

的距离（

方法①

利用定义的算法框图

方法②

利用直角三角形的面积公式的算法框图

方法③

利用平面向量的算法框图

点到直线的距离公式

4．典型例题

例1 例2 例3 例4

5．课堂练习

6．课堂小结

7．课后作业

设计说明：

1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；

3．由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；

4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；

5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．

13