1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教案内容

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P10～P15的内容，回答下列问题．

阅读教材P10“探究”的内容，思考：

(1)是否吸烟、是否患肺癌是什么变量？

提示：分类变量．

(2)吸烟与患肺癌之间的关系还是前面我们研究的线性相关关系吗？

提示：不是．

(3)如何研究吸烟是否对患肺癌有影响？

提示：独立性检验．

2．归纳总结，核心必记

(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．

②2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

x1

x2

总计

(3)等高条形图

①图形与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

ac②通过直接计算或观察等高条形图发现a＋b和c＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．

(4)独立性检验

定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

系”的方法称为独立性检验

n(ad－bcK2＝(a＋b，

其中n＝a＋b＋c＋d

①确定α，根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0. ②计算K2，利用公式计算随机变量K2的观测具体

步骤

值k. ③下结论，如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”

[问题思考] (1)有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的．”你认为这种观点正确吗？为什么？

提示：观点不正确．犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关的程度，不是患肺癌的百分数．

(2)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的吗？

提示：不一定．所有的推断只代表一种可能性，不代表具体情况．

(3)下面是2×2列联表.

x1

x2

总计

则表中a，b处的值应为多少？

提示：a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66.

[课前反思] (1)分类变量的定义是什么？

(2)列联表的定义是什么？2×2列联表中的各个数据有什么意义？

y1

33

a b y2

21

13

34 总计

54 46

公式

(3)什么是等高条形图，有什么作用？

(4)独立性检验的内容是什么？

讲一讲

1．在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出ac饮食习惯与年龄的列联表，并利用a＋b与c＋d判断二者是否有关系．

[尝试解答]

2×2列联表如下：

饮食以蔬菜为主

饮食以肉类为主

总计

将表中数据代入公式得

a43c27a＋b＝64＝0.671 875.c＋d＝60＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．

(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误．

(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列年龄在六

十岁以上

43

27

70

年龄在六

十岁以下

21

33

54

总计

64 60 124

acd联表，然后根据频率特征，即将a＋b与c＋dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．

练一练

1．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：

x1

x2

y1

10

m y2

18 26 则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱( ) A．8 B．9 C．14 D．19 解析：选C

由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．

讲一讲

2．某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．

[尝试解答]

作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：

练一练

2．在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，试利用图形来判断色盲与性别是否有关？

解：根据题目给出的数据作出如下的列联表：

男

女

总计

色盲

38

6

44

不色盲

442

514

956

总计

480 520 1000 根据列联表作出相应的等高条形图：

从等高条形图来看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我们认为患色盲与性别是有关系的．

讲一讲

3．研究人员选取170名青年男女大学生为样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？用独立性检验的方法判断．(链接教材P13－例1) 附：

P(K2≥k0)

k0

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025 5.024 [尝试解答]

根据题目所给数据建立如下2×2列联表：

肯定

否定

总计

男生

女生

总计

根据2×2列联表中的数据得到：

22

22

44

88

38

126

110 60 170 170×(22×38－22×88k＝110×60×44×126≈5.622>5.024. 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“性别与态度有关系”．

根据题意列出2×2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．

练一练

3．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？

附：

P(K2≥k0)

k0

解：根据题意，列出2×2列联表如下：

男乘客

女乘客

总计

晕机

24

8

32

不晕机

31

26

57

总计

55 34 89 0.10

2.706

0.05 3.848 假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．

由公式可得K2的观测值

n(ad－bck＝(a＋b

89(24×26－31×8＝55×34×32×57≈3.689>2.706，

故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————

1．本节课的重点是用2×2列联表、等高条形图分析两个分类变量间的关系以及独立性检验．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)用2×2列联表分析两分类变量间的关系，见讲1；

(2)用等高条形图分析两分类变量间的关系，见讲2；

(3)独立性检验，见讲3. 3．解决一般的独立性检验问题的步骤：

(1)通过列联表确定a，b，c，d，n的值，根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

n(ad－bc(2)利用K＝(a＋b求出K2的观测值k；

2(3)如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．

其中第(2)步易算错K2的值，是本节课的易错点．

课下能力提升(二) [学业水平达标练]

题组1

用2×2列联表分析两分类变量间的关系

1．分类变量X和Y的列联表如下：

x1

x2

总计

则下列说法正确的是( ) A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强

C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强

解析：选C

|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．

2．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( ) A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20 B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20 C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50 D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40 n(ad－bc解析：选D

当(ad－bc)的值越大，随机变量K＝(a＋b的值越大，可知X与Y有关22系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．

3．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

20至40岁

大于40岁

总计

文艺节目

40

15

55

新闻节目

18

27

45

总计

58 42 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．

解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42b18d27名观众中有27名观众收看新闻节目，即a＋b＝58，c＋d＝42，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

答案：是

题组2

用等高条形图分析两分类变量间的关系

4．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )

A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的百分比为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的比为60% 解析：选C

从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．

5．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )

解析：选D

在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．

6．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：

子女吸烟

子女不吸烟

总计

父母吸烟

237

678

915

父母不吸烟

83

522

605

总计

320 1 200 1 520 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？

解：等高条形图如图所示：

由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．

题组3

独立性检验

7．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A．平均数与方差

B．回归分析

C．独立性检验

D．概率

解析：选C

判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．

8．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( ) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

解析：选B

k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．

9．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．

解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．

答案：③

10．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析试验效果.

对照班

试验班

总计

附：

P(K2≥k0)

k0

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005 7.879 70及70分以下

32

12

44

70分以上

18

38

56

总计

50 50 100 解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值

n(ad－bck＝(a＋b

100(32×38－18×12＝50×50×44×56≈16.234. 因为16.234>6.635，

所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一

年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．

[能力提升综合练] 1．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( ) A．k≥6.635

B．k<6.635 C．k≥7.879

D．k<7.879 解析：选C

有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879. 2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60 50 110 n(ad－bc110×(40×30－20×20由K2＝(a＋b算得，观测值k＝60×50×60×50≈7.8. 附表：

P(K2≥k0)

k0

参照附表，得到的正确结论是( ) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析：选A

由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1

成绩性别

男

女

总计

不及格

6

10

16

表2 及格

14

22

36

总计

20 32 52 0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828

视力性别

男

女

总计

好

4

12

16

差

16

20

36

总计

20 32 52 表3

智商性别

男

女

总计

偏高

8

8

16

表4 阅读量性别

男

女

总计

A．成绩

B．视力

C．智商

D．阅读量

252×(6×22－14×10解析：选D

因为K1＝16×36×32×20

52×82＝16×36×32×20，

252×(4×20－16×1252×1122K2＝16×36×32×20＝16×36×32×20，

252×(8×24－12×852×962k3＝16×36×32×20＝16×36×32×20，

252×(14×30－6×252×4082K4＝16×36×32×20＝16×36×32×20，

2222则有K4>K2>K3>K1，

所以阅读量与性别有关联的可能性最大．

4．下列关于K2的说法中，正确的有________．

①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；

n(ad－bc②K2的计算公式是K2＝(a＋b；

③若求出K2＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性丰富

14

2

16

不丰富

6

30

36

总计

20 32 52 正常

12

24

36

总计

20 32 52

使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．

解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．

答案：③④

5．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

喜欢玩电脑游戏

不喜欢玩电脑游戏

总计

认为作业多

18

8

26

认为作业不多

9

15

24

总计

27 23 50 由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

解析：查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635，本题中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

答案：不能

6．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：

患肝病2 不患肝病18 合计30 常饮酒

不常饮酒

合计

4已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为15. (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；

(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？

参考数据：

P(K2≥k)

k 0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 x＋24解：(1)设患肝病中常饮酒的人有x人，30＝15，x＝6.

患肝病

不患肝病

合计

常饮酒

6

4

10

不常饮酒

2

18

20

合计

8 22 30 30×(6×18－2×4由已知数据可求得K2＝10×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．

(2)设常饮酒且患肝病的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．

8故抽出一男一女的概率是P＝15. 7．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本频率分布直方图．

表1

甲流水线样本频数分布表

产品质量/克

(490,495]

(495,500]

(500,505]

(505,510]

(510,515]

频数

6 8 14 8 4

(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；

(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；

(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条要自动包装流水线的选择有关”．

解：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：

(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，

由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，

30故甲样本合格品的频率为40＝0.75，

36乙样本合格品的频率为40＝0.9，

据此可估计从甲流水线任取1件产品，

该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品，

该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)2×2列联表如下：

合格品

不合格品

总计

2甲流水线

a＝30

c＝10

40

乙流水线

b＝36

d＝4

40

总计

66 14 n＝80 n(ad－bc80×(120－360因为K的观测值k＝(a＋b＝66×14×40×40≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．