3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教案设计

3.2.1 复数的代数形式的加减运算

教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。

教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义

教学难点：加、减运算的几何意义 教学过程：

一、复习准备：

1. 与复数一一对应的有？

2. 试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,0,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数z114i与Z272i所对应的向量，并计算OZ1OZ2。向量的加减运算满足何种法则？

4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：

1.复数的加法运算及几何意义

①.复数的加法法则：z1abi与Z2cdi，则Z1Z2(ac)(bd)i。

例1．计算（1）(14i)+(72i) （2）(72i)+(14i) （3）[(32i)+(43i)](5i)

（4）(32i)+[(43i)(5i)]

②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14i),(72i)，(32i),(43i),(5i)所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若Z1ZZ2，则Z叫做Z2减去Z1的差,记作ZZ2Z1。

④讨论：若Z1ab,Z2cdi，试确定ZZ1Z2是否是一个确定的值？

（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）

⑤复数的加法法则及几何意义：(abi)(cdi)(ac)(bd)i，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

例3．计算（1）(14i)-(72i) （2）(52i)+(14i)(23i)

（3）(32i)-[(43i)(5i)]

练习：已知复数，试画出Z2i，Z3，Z(54i)2i

2．小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量

的加减法进行。

三、巩固练习：1．计算（1）84i5（2）54i3i（3）2．若(310i)y(2i)x19i，求实数x,y的取值。

变式：若(310i)y(2i)x表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

3．三个复数Z1,Z2,Z3，其中Z13i，Z2是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定Z2,Z3的值。

作业：课本71页1、2题。

23i29i32i

第二课时 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算

教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。

教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念

教学难点：乘除运算

教学过程：

一、复习准备：

1. 复数的加减法的几何意义是什么？

(14i)+(72i) (52i)+(14i)(23i)

2. 计算（1）（2）（3）(32i)-[(43i)(5i)]

3. 计算：（1）(13)(23) （2）(ab)(cd)

（类比多项式的乘法引入复数的乘法）

二、讲授新课：

1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。

例1．计算（1）(14i)(72i) （2）(72i)(14i) （3）[(32i)(43i)](5i)

（4）(32i)[(43i)(5i)]

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

例2．1、计算（1）(14i)(14i) （2）(14i)(72i)(14i)（3）(32i)2

2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(23i)Z8，试求Z的值。

②共轭复数：两复数abi与abi叫做互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

练习：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i。

③类比1223(12)(23)(23)(23)，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则：(abi)(cdi)其中cdi叫做实数化因子

abi(abi)(cdi)acbdbcadi

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2例3．计算(32i)(23i)，(12i)(32i)（师生共同板演一道，再学生练习）

练习：计算32i3i，

(12i)2(1i)212．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。

三、巩固练习：1．计算（1）1i2ii3 （2）iiiii （3）23452i312i

2．若z1a2i,z234i，且求a。

z1z为纯虚数，求实数a的取值。变：1在复平面的下方，z2z21.

设复数zabi(a,bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是____________。

【答案】a=0 a27a62(a5a6)i(aR)，那么当a=_______时，z是实数；

2.

已知复数z2a1当a__________________时，z是虚数；当a=___________时，z是纯虚数。

【答案】a6a(,1)(1,1)(1,6)(6,)a

3.

已知x2y26(xy2)i0，则实数x__________,y___________.

x12x12或【答案】

y12y124.

若复数a满足a12ai44i,则复数a=___________。

【答案】1+2i 5.

已知aR，则复数z(a22a2)(6aa210)i必位于复平面的第_____象限。

【答案】第四

26.

复数zii在复平面对应的点在第_______象限。

【答案】第二

2347.

设i是虚数单位，计算iiii________. 【答案】0 8.

已知向量OZ1对应的复数是54i，向量OZ2对应的复数是54i，

则OZ1+OZ2对应的复数是___________。

【答案】0 9.

已知复数zxyi(x,yR)满足条件|z4i||z2|，则24的最小值

是________。

【答案】42

10.

计算：

xy(5i)(3i)5i________|(32i)(4i)|__________

i_________已知z112i，则12iz等于________1i

3i的共轭复数是__________。

12i【答案】1i

11.

复数z12.

如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m____________. 【答案】复数(m2i)(1mi)=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1 13. 设x,y为实数，且xy5，则xy

。

1i12i13i【答案】xyx(1i)y(12i)xyx2y()()i，

1i12y252525而55(13i)13xy1x2y3i

所以且，解得x＝－1，y＝5，

13i1022252252所以x＋y＝4。

14. 已知2ai,bi是实系数一元二次方程xpxq0的两根，则p,q的值为_______ 【答案】因为2

ai，bi（

i 是虚数单位）是实系数一元二次方程xpxq0的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程xpxq0的两个根是2i所以222p[(2i)(2i)]4,q(2i)(2i)5.。

15.求512i的平方根。

【答案】3+2i 或-3-2i 16.已知复数z1i，求实数a、b使az2bz(a2z)2

【答案】

a2a4

或b1b2