探究与发现 组合数的两个性质设计意图

组合数的两个性质

一．回顾

1．组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质．

2．组合数的概念、公式、性质

组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有定义

不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数

表示法

Cmn

mAnCm＝＝nAmm组合数

公式

乘积式

n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）

m！n！Cm＝

nm！（n－m）！n－mmm－1Cm，Cmn＝Cnn＋1＝Cn＋Cn

阶乘式

性质

备注

①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组2合的个数为C3.(

) 2(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C4个积．(

) (3)C35＝5×4×3＝60.(

) 1(4)C2 0162 017＝C2 017＝2 017.(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

2

若A3n＝8Cn，则n的值为(

) A．6

C．8

答案：A B．7 D．9 18

计算：(1)C3＝________；(2)C720＝________．

答案：(1)35

(2)190

甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．

解析：车票的票价有C23＝3种．

答案：3 二．新知

1.两性质n－mmm－1mmCn＝Cn，Cn＋1＝Cn＋Cn

2.公式推演

3.例题

计算下列各式的值．

2(1)3C3－2C85；

333(2)C3＋C＋C＋…＋C45610；

－n9－n(3)C5＋Cnn＋1. 【解】

8×7×65×432(1)3C8－2C5＝3×－2×＝148.

3×2×12×1(2)利用组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－n1，

则C34＋C35＋C36＋…＋C310

＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44

＝C45＋C35＋…＋C310－C44＝

…

＝C411－1＝329.

5－n≤n，(3)5－n≥0，解得49－n≤n＋1，≤n≤5.

9－n≥0，又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.

当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5.

当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.

[变条件]若将本例(2)变为：C55＋C56＋C57＋C58＋C59＋C510，如何求解？

解：原式＝(C66＋C56)＋C57＋C58＋C59＋C510

＝(C67＋C57)＋C58＋C59＋C510＝…

565＝C610＋C10＝C11＝C11

11×10×9×8×7＝＝462. 5×4×3×2×1

关于组合数公式的选取技巧

n(1)涉及具体数字的可以直接用Cn－mmn－1＝（n－1）！n！n·＝＝Cm

n进行计算．n－mm！（n－1－m）！m！（n－m）！(2)涉及字母的可以用阶乘式mCn＝n！计算．

m！（n－m）！－mm(3)计算时应注意利用组合数的性质Cn＝Cnn简化运算．

987

1.C5＋CC81007＝________．

98732解析：C58＋C100C7＝C8＋C100×1

8×7×6100×99＝＋＝56＋4 950＝5 006.

3×2×12×1答案：5 006 三练习．

2221.若C2＋C＋C＋…＋C345n＝363，则正整数n＝________．

222解析：由C2＋C＋C＋…＋C345n＝363，

222得1＋C2＋C＋C＋…＋C345n＝364，

2222即C3＋C＋C＋C＋…＋C3345n＝364.

m1m又Cm＋C＝Cnnn＋1，则

－

2222322232C33＋C3＋C4＋C5＋…＋Cn＝C4＋C4＋C5＋…＋Cn＝C5＋C5＋233C2＋…＋C＝…＝C，所以C6nn＋1n＋1＝364，

（n＋1）n（n－1）化简可得＝364，

3×2×1又n是正整数，解得n＝13.

答案：13 n64n22．解方程：C3＝C1818. ＋－解：由原方程及组合数性质可知，

3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，

所以n＝2，或n＝8，而当n＝8时，

3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．

因此n＝2.