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随机变量及其分布复习题

副标题

题号

得分

一

二

三

总分

一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.

若离散型随机变量X的分布列为

X

P

则常数a的值为

0

1

A.

【答案】A

【解析】【分析】

B.

C.

或

D. 1或

本题主要考查离散型的分布列的性质，属于基础题．

由分布列的性质可得

，解得a的值，再进行验证即可．

解：由分布列的性质可得

，解得

或

，

时，

，

，

故选A．

2.

若

，且

，

，则

A.

B. 3 C.

D. 2 【答案】A

【解析】解：

随机变量

～ ，且

，

，

，且

，解得

，

．

故选：A．

根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．

本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题．

3.

有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下集中变量：

表示取出的最大号码；

表示取出的最小号码；

取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

表示取出的4个球的总得分；

表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

第1页，共6页

【解析】解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知 服从超几何分布．

故选：B．

根据超几何分布的定义，即可判断．

对超几何分布与二项分布关系的认识：共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．

4.

学校体育队共有5人，其中会打排球的有2人，会打乒乓球的有5人，现从中选2人

设

为选出的人中既会打排球又会打乒乓球的人数，则随机变量

的均值

A.

B.

C.

D. 1 【答案】C

【解析】解：由题意知

的可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

P

0

1

．

2

故选：C．

由题意知

的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出

的均值 ．

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

5.

已知随机变量X满足

，则

A. 2

B. 27

C. 18

【答案】B

【解析】解：

随机变量X满足

，

．

故选：B．

利用方差的性质直接求解．

D. 20

本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差的性质的合理运用．

6.

已知随机变量

的分布列为

，2，

，则

为

A.

B.

C.

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D.

【答案】A

【解析】解：

，

，2，

，

．

故选A．

根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．

本题考查离散型随机变量的分布列的应用，考查互斥事件的概率，是一个比较简单的分布列问题，这种题目如果出现则是一个送分题目．

7.

一袋中装有6个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现9次停止

设停止时，取球次数为随机变量X，则

的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】解：若

，则取11次停止，第11次取出的是红球，前10次中有8次是红球，

，

则

故选：C．

若

，则取11次停止，第11次取出的是红球，前10次中有8次是红球，先考虑

哪8次取红球，有

种选择，又因为有8次取得是红球，乘以取红球的概率的8次方，还有2次取的是白球，乘以取白球的概率的平方．

本题考查了n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，属于中档题．

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

8.

若随机变量X的分布列为

2，3， ，则

______ ．

【答案】

【解析】解：

随机变量X的分布列为

2，3， ，

．

故答案为： ．

由已知得

，由此能求出结果．

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．

9.

袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X，则

的概率是______ ．

【答案】

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【解析】解：当

时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，

故

．

故答案为：

．

利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．

10.

随机变量

的取值为0，1，2，若

，

，则

______ ．

【答案】

【解析】解析：设

，

，则由已知得

，

，

解得

，

，

所以

．

故答案为：

结合方差的计算公式可知，应先求出

，

，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．

本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

11.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温

单位：

有关

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶

为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

求六月份这种酸奶一天的需求量 单位：瓶

的分布列；

设六月份一天销售这种酸奶的利润为 单位：元

，当六月份这种酸奶一天的进货量 单位：瓶

为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【答案】解： 由题意知X的可能取值为200，300，500，

，

，

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，

的分布列为：

X

P

200

300

500

由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，

只需考虑

，

当

时，

若最高气温不低于25，则

；

若最高气温位于区间 ，则

；

若最高气温低于20，则

，

，

当

时，

若最高气温不低于20，则

，

若最高气温低于20，则

，

．

时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．

【解析】 由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑

，根据

和

分类讨论经，能得到当

时，EY最大值为520元．

本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．

12.

几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承“快递员”的工资是“底薪

送件提成”：接，即圆通公司与申通公司：这两家公司对“快递员”的日工资方案为：圆通公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；申通公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：

求申通公司的快递员一日工资 单位：元

与送件数n的函数关系；

若将频率视为概率，回答下列问题：

记圆通公司的“快递员”日工资为 单位：元

，求X的分布列和数学期望；

如果仅从日收入的角度考虑，

小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

【答案】解： 由题意：当

时，

元，

当

时，

申通公司的快递员一日工资 单位：元

与送件数n的函数关系为：

第5页，共6页

．

的所有可能取值为152，154，156，158，160

由题意：

，

，

，

，

，

的分布列为：

X

P

152

154

156

158

160

的数学期望

元

设申通公司的日工资为Y，

则

元

由于到圆通公司的日工资的数学期望

均值

没有申通公司的日工资的数学期望

均值

高，所以小王应当到申通公司应聘“快递员”的工作．

【解析】 当

时，

元，当

时，

，由此能求出申通公司的快递员一日工资 单位：元

与送件数n的函数关系．

的所有可能取值为152，154，156，158，160，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

求出EY159，由于到圆通公司的日工资的数学期望

均值

没

设申通公司的日工资为Y，有申通公司的日工资的数学期望

均值

高，从而得到小王应当到申通公司应聘“快递员”的工作．

本题考查函数关系的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考

查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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