3.2.2 复数代数形式的乘除运算国家优质课一等奖

3.2.2复数代数形式的乘除运算

学习课题

复数代数形式的乘除运算

知识与技能：能进行复数代数形式的乘除运算.

过程与方法：从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算学习

律，通过zz|z|2实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想.

目标

情感、态度与价值观：通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识.

学习

i的运算和分母实数化. 重点

学习复数除法中的分母实数化.

难点

学 习 过 程

学 习 过 程【导、探、练、展、评】

知识点一：复数的乘法

[提出问题] 问题1：两个实数可以相乘，两个复数可以相乘吗？

备

注

问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？

问题3：复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗？

[导入新知] 1．复数的乘法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝____________________________(a，b，c，d∈R)．

2．复数乘法的运算律

导

对于任意z1，z2，z3∈C，有：

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

[化解疑难] 对复数乘法的理解

(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．

1

2z1·z2＝______________

(z1·z2)·z3＝______________

z1(z2＋z3)＝______________

知识点二：复数的除法

[提出问题] 问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？

问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积．

问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

[导入新知] 1．共轭复数的概念

当两个复数的实部_______，虚部______________时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为z，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

2．复数的除法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝z1z2a＋bi＝c＋diac＋bdbc－ad＋i(c＋di≠0)．

c2＋d2c2＋d2

[化解疑难] 对复数除法的理解

(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．

(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后把结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可．

题型一：复数的乘除运算

[例1] 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；

3311(2)－＋i＋i(1＋i)；

2222(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；

3＋2i3－2i(4)－. 2－3i2＋3i

探-练

[类题通法] 复数乘除运算的常用技巧

(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

2

[活学活用](1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部．

z－2(2)已知z是纯虚数，是实数，求z. 1＋i

题型二：共轭复数

2[例2] (1))若复数z＝，其中i为虚数单位，则z＝(

) 1－iA．1＋i

B．1－i C．－1＋i (2)若z＝1＋2i，则A．1

D．－1－i ＝(

) z

z－14iB．－1 C．i D．－i [类题通法] 共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求. (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

题型三：复数运算的综合应用

1[例3] 已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. z1(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

[类题通法] 解决双复数问题的方法

解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．

1．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(

)

展

A．－1

B．0 C．1 D．2 2i2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(

) 1＋i3

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) A．－3 B．－2 C．2 D．3 z2－2z4．已知复数z＝1－i，则＝(

) z－1A．2i B．－2i C．2 D．－2 5．若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(

) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 6．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

1－i2 0121027．若z＝－，则z＋z＝________. 2z1z2xy58．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________. 1－i1－2i1－3i9．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．

(1＋2i)＋3(1－i)1－3i10．计算：(1)；(2). 22＋i(3＋i)

【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来

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作业

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