2.2.4 点到直线的距离教学设计(第二课时)

《点到直线的距离》教学设计

广东仲元中学

严运华

一、教材分析

⒈地位和作用

“点到直线的距离”是人教A版必修2第三章“直线与方程”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用．从知识的纵向联系上看，初中平面几何学习了距离的概念，对距离有定性的刻画．点到直线的距离公式，

实现了从定性刻画到定量计算的过渡；同时也是两点间距离公式的一种延伸．另一方面“点到直线的距离”为进一步学习直线与圆、圆锥曲线奠定了基础，起着承上启下的作用．

2.重点和难点

教学重点：点到直线距离公式的推导及其结论的简单应用，

教学难点：点到直线距离公式的推导．

教材中提供了两种推导公式的思路，思路Ⅰ直接求交点，再利用两点间距离公式，将点到直线距离转为为两点间的距离；思路Ⅱ结合平面几何知识，转化为直角三角形斜边上的高来处理，该思路是类比推导两点间距离公式的方法，构造直角三角形，利用数形结合的方法．

公式的推导是难点，公式的推导采用的解析法或解析法结合其它的数学方法，在后续的圆锥曲线中经常用到；公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合、整体思想、函数与方程、等价转化等），所以，公式的推导也是重点．

二、教学目标

1.

理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式及简单应用．

2.

经历点到直线距离公式的探索过程；体会推导过程中蕴含其中的数形结合、整体代换、分类讨论、化归转化等数学思想，发展学生的运算能力．

1

3.

通过探索公式的推导过程，培养学生的意志品质；感受公式简洁的数学美．

三、学情分析

1. 知识基础：学生学习了直线方程的形式、两直线的位置关系等内容，会联立两直线的方程，通过加减消元法求交点坐标；会求与已知直线垂直的直线方程；学习了两点间的距离公式，并会应用．

2.方法基础：数形结合已经较为熟悉；坐标法解决几何问题也有了初步的认识．但

学生的抽象思维以及运算能力水平不高，教师要及时引导．

3.学习态度与能力

我校学生学习能力和学习习惯较好，适合开展自主探究式学习．

四、教法与学法

教学方法：“学习任何东西的最好途径是自己去发现”，在学生的最近发展区设计问题串，引导学生探究公式，体会公式的“再发现”过程．在此过程中对学生可能采取的其他做法加以以引导．充分体现“教师为主导，学生为主体”的教学理念，在教学上采取创设问题——自主学习—合作探究——归纳与总结——反思拓展组成的类比探究式教学策略，体现自己多年形成的“重参与，重发现，重本质”的教学特色．

学法指导：问题是数学的核心，是学生学习的出发点，以“问题为中心”，通过类比探究，引导学生自主学习、合作交流、优化公式的推导思路，深化数形结合的理解，提高学生数学素养．

五、教学过程

（一）

以旧引新，提出问题

，2)到下列直线的距离（投影展示）

问题一，分别求点P(1

l1:x3，l2:y1，l3:xy50

（设计理念

建立新旧知识联系，此问题难度不大，学生均可参与，为新课做铺垫．）

学生自主探究后请学生回答

对第三个问题不仅要学生说出结果,还要指出方法，估计大部分学生采取的是直接法，如有学生出现其他方法应给予鼓励．

2

（二）

类比推广，建构数学

追问：将问题一的具体数字变成字母，情况如何？提出问题二

问题二: 分别求点P(x0,y0)到下列直线的距离

（投影显示）

(1)

l1:AxC0(A0)，(2)

l2:ByC0(B0)，

(3) l3:AxByC0,(AB0)

这些内容主要由学生通过自主探索，合作交流方式完成．

（设计理念:

通过类比方法,从数字到字母,探究一般结论是数学发现的基本方法）

对(1)(2)学生很快得出结论,分别为dx0CC，dy0

AB对于(3)学生感到为难,按直接法求垂足运算量大，此时教师应鼓励学生有勇气继续出来．

探究一

直接法

过点P作直线与l3垂直于Q，设直线PQ方程为BxAyM代入得，M0,将P点坐标Ay0Bx0，所以直线PQ的方程BxAyAy0Bx00

B2x0ABy0ACx22AxByC0AB联立方程组得

2BxAyAyBx0,00yABx0Ax0BCA2B2根据两点间的距离公式即得dPQ探究二

设而不求，整体思想

其实直接法可改进，要求距离，可不必求Q(x,y)的坐标，只需求xx0和yy0即可．

Ax0By0CAB22．

A(xx0)B(yy0)Ax0By0C0设Q(x,y)的坐标,将方程变形即可得出

B(xx)A(yy)0,00求出xx0

A(Ax0By0C)B(Ax0By0C)yy,，

0A2B2A2B23

根据两点间距离公式即可得到dAx0By0CAB22

还有更为简单的方法，只需求出(xx0)2(yy0)2即可，

A(xx0)B(yy0)(Ax0By0C)将联立方程组变形为

B(xx0)A(yy0)0,将以上两式平方相加得(A2B2)(xx0)2(A2B2)(yy0)2(Ax0By0C)2

d(xx0)(yy0)22Ax0By0CAB22

探究三

构造直角三角形，化“斜”为“直”

进一步引导学生回忆：两点间的距离公式如何推导出来的？可否类比吗？通过构造直角三角形，化

“斜”为直．

由于A,B均不为0，此时直线与坐标轴都相交，构造直角三角形PRS，只需求斜边上的高PQ即可．

过点P 分别作x,y轴垂线交l3于S(x0,y2)，R(x1,y0)，则x1By0CAxC，y20,

AB所以PSy2y0Ax0By0CAx0By0C，PRx1x0，

BA11

22AB

在直角三角形，根据勾股定理，SRPS2PR2Ax0By0C根据等积法得SRPQPSPR，则dPQPSPRSRAx0By0CAB．

22显然,

若A,B中有一个为0，上式也成立，故dAx0By0CAB22（三）提炼思想，认识本质

4

从上述过程可得：直接法繁，但思路自然；采用设而不求，整体代换的思想可简化运算；另外，利用几何性质也可简化运算．整个过程体现了函数与方程、数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想，这些都是解析几何的基本思想，在后续学习中经常用到。

（四）

公式运用，变式提升

1.认识公式：

公式分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边，得到代数式的绝22对值，分母是AB，结构具有简洁的数学美．

2.运用公式

（1，2）例1：分别求点P到直线3x2及x+2y5的距离

（1，2）变式：若P为正方形ABCD的中心，且AB边所在直线为x+2y5，求其他三边所在直线方程．

通过基本题，运用公式，通过变式题，提升能力。

设计意图：既注重基本知识的运用，也通过变式问题提高学生思维的灵活性。

（五）归纳小结，拓展思考

引导学生反思本课的主要内容：

1.点到直线距离的公式的结构特征：

2.推导点到直线距离的方法以及各种方法中的数学思想，

还有其他方法进行推导吗？可以进一步探索．

3.公式应用注意的问题．

课外练习与思考：

1.课本110页第9题10题B组2，3题;

2.研究点到直线距离公式其他推导方法．

六、板书设计

将本课主要内容呈现出来，运算过程则在空白处展示演算过程．力求某个内容完整．

点到直线的距离

引入：

公式推导

运用

问题1：

直接法

例1：

设而不求，整体思想

变式

5 构造直角三角形

注意问题

七、教学评价

评价学习过程：通过问题引入，以尝试、提问、发言、等方式，在探究过程中，层层深入，关注整个过程和全体学生，及时鼓励引导，对典型的错误或问题要集体讲解，提高学生学习的积极性．

评价学习情况：根据教学目标，设计课堂检测题，及时测评课堂教学效果．

通过本节课的学习，学生不仅掌握了点到直线的距离公式，而且通过公式的推导，更加熟悉解析法，深刻地领会到平面解析几何的基本思想“以数论形，以形辅数，数形结合”，提高了运用数形结合、等价转化等数学思想解决问题的能力，也提高综合运用知识解决问题的能力；通过对公式推导思路的探索、评价，学生的思维品质得以优化，学会辩证地看待问题，感受到了数学的美，增添了创新的意识和胆量．

八、教学反思

1．重视教材中旁白的教学研究，教材不可能有太多的笔墨，但教师不能没有思考．不管学生用直接法推出或没有推出这个公式，但这样的亲身体验与经历，足够让学生记忆一辈子，也才能够成日后积淀为学生自己的素养． 2．数学核心概念教学要“慢”，要把发现、探究、体验、悟错等机会留给学生，让学生有机会反思自我，展现自我、有足够的时空去消化累积，积淀隐性知识，提升数学素养．教师适度的等待和学生慢慢地自悟，是教育的本真，需要的是教育者的勇气，生成的是受教育者的智慧．

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