2.2.2 直线方程的几种形式第二课时教案

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

3．2.1 直线的点斜式方程

学习目标: 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件．

2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．

3．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．

教学重难点：

重点：会利用探讨出的条件求出直线的方程

难点：掌握直线方程的点斜式的特征及其适用范围

一．自主学习（知识梳理）

1．直线的点斜式方程

(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程____________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．

(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0或______．

一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．

二．互学

组内交流（解决下面两个问题）

各小组在组长的组织下，认真开展学习交流，完成自主学习内容及问题探究

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

1、

点斜式

思考：（1）点斜式的特征及适用范围

（2）直线的点斜式能否表示坐标平面上的所有直线呢？

2．直线的斜截式方程

(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的____．倾斜角是____的直线没有斜截式方程．

三．导学

例1. 一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程，并画出图形。

例2. 斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。

例3. 思考1：已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，分别在什么条件下l1与l2平行？垂直？

思考2：与直线l1:y=kx+b1平行的直线有几条？它们的方程有什么特点？

四．自测练习

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

1、写出下列直线的点斜式方程：

（2）

经过点A（3，﹣1），斜率是2；

（2）经过点B（﹣2，2），倾斜角是30°；

（3）经过点C（0，5），倾斜角是0°；

2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角

（1）y－2＝x－1 （2）y+2＝3

x+3

3、指出直线y-4=

﹣3

(x+3)的倾斜角和所经过的定点。

4、写出下列直线的斜截式方程：

（1）斜率是

32，在

y 轴上的截距是﹣2

；

（2）斜率是

﹣2 ，在

y 轴上的截距是4

；

5、判断下列各对直线是否平行或垂直：

11(1)l1:yx3,l2:yx2

22

53(2)l1:yx,l2:yx

35

6、当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．

五.反思总结

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

1．理解直线的点斜式方程

剖析：直线的点斜式方程是由直线上任意一点和直线的斜率确定的，建立点斜式的依据是过直线上一个定点与另外任意一点的直线是唯一的，它由过两点的直线的斜率公式y－y0x－x0y－y0＝k推导而来，但应当注意＝k与y－y0＝k(x－x0)的区别是前者不包含点P(x0，y0)，后x－x0者包含点P(x0，y0)．点斜式的最大特点是由方程能直接看出其斜率及直线经过的一个点．

2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别

剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．

联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．

区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．

题型一：求直线的点斜式方程

【例1】

写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点A(2,5)，斜率是4；

(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；

(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．

反思：求直线的点斜式方程的步骤：

题型二：求直线的斜截式方程

【例2】

根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2. 反思：已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时，用斜截式写出直线的方程，比用直线方程的点斜式更方便．

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

题型三：利用两个直线方程判断平行或垂直

【例3】

判断下列两条直线平行还是垂直：

(1)l1：y－2＝3(x＋1)，l2：y＝3x；

1(2)l1：y＝6x－1，l2：y＝－x－1；

6(3)l1：x＋3＝0，l2：x－2＝0. 反思：已知两条直线的方程，判断它们平行或垂直时，先确定它们的斜率是否存在，若斜率不存在，则可画图来判断；若斜率都存在，则把方程都化为斜截式，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2；当k1＝k2且b1＝b2时，l1与l2重合；当k1k2＝－1时，l1⊥l2. 题型四：易错辨析

易错点

平行条件转化不等价

【例4】

当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．

错解：l1的斜率k1＝－1，l2的斜率k2＝a2－2，

若l1∥l2，则k1＝k2，

∴a2－2＝－1，∴a＝±1. 错因分析：错解没有验证a＝±1时，两条直线是否重合．

反思：直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，当l1∥l2时，有k1＝k2且b1≠b2，反之亦然．

答案：【例1】

解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．

(2)直线的倾斜角为45°，则此直线的斜率k＝tan 45°＝1. 故直线的点斜式方程为y－3＝x－2. (3)直线与x轴平行，则倾斜角为0°，斜率k＝0. 故直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x＝1. 【例2】

解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. (2)倾斜角为150°，则斜率k＝tan 150°＝－由斜截式可得方程为y＝－3x－2. 33. 3【例3】

解：(1)l1的方程化为y＝3x＋5，则直线l1的斜率k1＝3，直线l1在y轴上的截距b1＝5，l2的方程为y＝3x，则直线l2的斜率k2＝3，直线l2在y轴上的截距b2＝0，

于是k1＝k2，b1≠b2，故l1∥l2. 1(2)l1的斜截式方程为y＝6x－1，则直线l1的斜率k1＝6，l2的斜截式方程为y＝－x－1，61则直线l2的斜率k2＝－，

61－＝－1，

于是k1k2＝6×6故l1⊥l2. (3)l1是过(－3,0)且垂直于x轴的直线，l2是过(2,0)且垂直于x轴的直线，

∴l1∥l2.

合川太和中学高中数学五环节导学案

王梦婷

【例4】

正解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－1，k2＝a2－2.若l1∥l2，2a－2＝－1，则解得a＝－1. 2a≠2，

∴当a＝－1时，直线l1：y＝－x－2与直线l2：y＝－x＋2平行．

1．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是__________．

2．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为__________．

3．已知两条直线y＝(k－1)x＋1和y＝(3－k)x－3互相平行，则k＝__________. 4．已知两直线y＝ax＋1和y－3＝(2＋a)(x－π)互相垂直，则a＝__________. 5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．

答案：1．y＋4＝3

(x＋2)

2.y＝－3x＋2

3.2

4.－1 5．解：直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，

∴直线l的倾斜角为120°，

∴直线l的斜率为k′＝tan120°＝－3. ∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3

(x－3)．