二 综合法与分析法第二课时教学实录

综合法与分析法

教案

教

材：不等式证明二（比较法、综合法）

目

的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过

程：

一、

比较法： 1．

复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

2．

例一、证明：y2x24x3在[2,)是增函数。

222y12x14x1322x24x2x14x12(x2x1)(x1x24)

证：设2≤x1



x1 > 0, x1 + x2

 4 > 0 ∴2y1201

y2在[2,)是增函数

又∵y1 > 0，

∴y1 > y2 ∴y2x二、

综合法：

4x3定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

例二、

已知a, b, c是不全相等的正数，

求证：a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > 6abc

证：∵b + c

≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b + c) ≥ 2abc

同理：b(c + a) ≥ 2abc , c(a + b) ≥ 2abc

∴a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > 6abc

例三、

设a, b, c 

R，

1求证：ab22222222222222222222222222222(ab)

2c2a22(abc)

22222求证：abbc3若a + b = 1, 求证：a11b2

22

1

证：1∵a2b2ab22(2)20 ∴a2babab2|2|2

∴a2b222(ab)

2同理：b2c222(bc)，

c2a222(ca)

三式相加：a2b2b2c2c2a22(abc)

3由幂平均不等式：

1(a112)(b2)(ab1)22(a12b12)2221

∴a12b122

例四、

a , b, cR, 求证：1(abc)(1a1b1c)9

2(abc)(11abbc1ca)92

3abcbcacab32

证：1法一：abc33abc, 11a11bc33abc, 两式相乘即得。

法二：左边abcabcababcc3(baab)(caac)(cbbc) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2∵ab2bc2ca3322(ab)(bc)(ca)

1ab1bc1ca331(ab)(bc)(ca)

两式相乘即得

3由上题：(abc)(1ab119bcca)2

2

∴1cab1abc1b9ca2

即：abcbccaab32

三、小结：综合法

补充：

a2121111．

已知a, bR+且a



b，求证：(2b2b)(a)a2b2（取差）

2．

设R，x, yR，求证：xsin2ycos2xy（取商）

R+，求证：(ab3．

已知a, b3ab332)2

证：∵a, bR+ ∴(ab)20 ∴a2abb2ab

∴a3b3(ab)(a2abb2)ab(ab)

∴3(a3b3)3ab(ab)

∴4(a3b3)a33ab(ab)b3(ab)3

∴(ab332ab3)2

4．

设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a1a)2(b125b)22

证：∵abab122 ∴ab14 ∴1ab4

a112112 ∴(a1ab212ba)(bb)212ab22ab2212ab1122ab14252222

23