一 数学归纳法名师教学实录

选修2-2·数学·人教

§2．3数学归纳法

一. 教学内容：

数学归纳法

二. 重点、难点：

数学归纳法步骤：

*nNn

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值0（0）时命题成立。

（2）（归纳递推）假设成立。

nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也【典型例题】

*nN[例1] 求证：1111111112342n12nn1n22n。

证明：

11n122右，成立

1（1），左（2）假设nk时成立

11111112342k12kk12k

即：11111122k12k2k12k2

当nk1时，左=1111k12k2k12k2111111()k2k32k2k1k12k2111k2k32k2

1=右

即nk1时，成立

综上所述，由（1）（2）对一切nN命题成立。

2222*1223(2n1)(2n)2n(2n1)nN[例2] 求证：

n(n1)(4n3)

*证明：

（1）n1，左=4－18=－14=（—1）×2×7=右

（2）假设nk时成立

即：1223(2k1)(2k)2k(2k1)

2222k(k1)(4k3)

当nk1时

22221.22.3(2k1)(2k)2k(2k1)左

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(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)(2k2)[(2k1)(2k2)(2k3)2]k(k1)(4k3)2(k1)[6k7](k1)[4k23k12k14](k1)(k2)(4k7)(k1)[(k1)1][4(k1)3]=右

即：n=k+1时成立

*nN综上所述由（1）（2）命题对一切成立

另解：令{an}中，a1122232

2an(2n1)(2n)22n(2n1)2∴

an2n(6n1)[12n2n]Sna1a2an[12(1222n2)2(12n)]

[2n(n1)(2n1)n(n1)]n(n1)(4n3)

11(11)(1)(1)2n1*nN32n1[例3] 求证：

证明：

（1）n=1

左=1+1=2=43右

（2）假设n=k时成立

11(11)(1)(1)2k132k1即：

当nk1时，左欲证：左2k1(1右

12k2)2k12k1

2(k1)122(2k2)2(2k1)(2k3)()(2k3)2k12k1

102k1

2k22k32k1∴

左边

∴

nk1时成立

2k2*nN综上所述由（1）（2）对一切命题成立

*nN[例4] 对于，n2，求证：111112n。

2232n2证明：

（1）n2，左1153124422右

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（2）假设n=k时成立

11112k

2232k2即：11111112222k(k1)223k(k1)2nk11当时，左=

211(k1)1122kk(k1)k(k1)k1右

即nk1时成立

*nN综上所述由（1）（2）对一切，n2命题成立

*nN[例5] 对于，求证：(x1)n1(x2)2n1，可被(x23x3)整除。

证明：

212(x1)(x2)x3x3成立

n1（1），左（2）假设n=k时成立

k12k12(x1)(x2)(x3x3)f(x)

即：当nk1时，(x1)k2(x2)2k1

(x1)(x1)k1(x24x4)(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x23x3)(x2)2k1(x1)(x23x3)f(x)(x23x3)(x2)2k1(x23x3)[(x1)f(x)(x2)2k1]∴

nk1时成立

*nN综上所述由（1）（2）对一切

*2n13n1nN352[例6] 求证：，可被17整除。

证明：

（1）n=0，左=15+2=17成立

（2）假设n=k成立

2k13k135217M，M∈N 即2k323k425352k1823k1

当nk1时，3517352k18(352k123k1)17352k1817M17(352k18M)

[例7] 是否存在常数*

a,b,c使122232n(n1)21n(n1)(an2bnc)12对一切nN恒成立。

证明：令n1,2,3

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14(abc)6a3122(4a2bc)b112c10709a3bc

*下证明对一切nN

122232n(n1)2（1）n=1时，显然成立

（2）假设n=k时成立

1n(n1)(3n211n10)12恒成立

1k(k1)(3k211k10)(k1)(k2)2当nk1时，左12

1(k1)[3k311k210k12k248k48]121(k1)[3k312k214k2]121(k1)(k2)[3(k1)211(k1)10]12

∴

nk1时成立

综上所述由（1）（2）对一切nN命题成立

[例8] 数列解：*{an}满足a1b(b2)，an11(nN*)2ana4，，求an。

a1b,a2112b,a32b2a232b132b2a343ban∴

推测证明：

（1）n=1成立

（2）假设n=k成立

(n1)(n2)bn(n1)b

ak即(k1)(k2)bk(k1)b

ak11k(k1)b2ak2[k(k1)b][(k1)(k2)b]

当nk1时，k(k1)b(k1)kb

∴

nk1成立

综上所述对一切nN，*an(n1)(n2)bn(n1)b成立

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p2a12p,an2pp{a}an1（p0为常数）[例9] ，试判断是否为数列n中的一项。

34a12p,a2,a3p23

证明：n1anpn推测

（1）n1成立

（2）假设n=k成立

k1akpk即，nk1时，kk22pppk1k1成立

综上所述对一切nN，∴

p不是

[例10] 数列*ak1p2p22p2pk1akpk

ann1pn成立

an中的一项

a12,an1an1,annN*

{an}满足an（1）求证：an2n1*nN对一切成立；

*bbnnN（2）令，，试比较n与n1大小关系。

n1,a123成立

（1）①

ak2k1bn②

假设n=k时成立，即2ak1

当n=k+1时，∴

112a22k32k3k22akak

ak12k3

∴

nk1时成立

*综上所述由①②对一切nN，an2n1

222anaa1121n[an22]n22bbnn1nn1n

an（2）n1211an112n1[22][2]nn12n1n

ann1(n1)10n(n1)(2n1)n(2n1)

*bbn

∴

nN，n1