1.1 回归分析的基本思想及其初步应用名师教学设计

§1.1 回归分析(1) 教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；

（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．

教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．

教学过程

一．问题情境

1．

情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．

时刻x/s

位置观测值y/cm

3

5

8

6

7

1

2

4

5.54

7.52

10.02

11.73

15.69

16.12

16.98

21.06

根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：

先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数nxiyinxyi1bn公式，22

xn(x)ii1aybx可以得到线性回归方为y3.53612.1214x，所以当x9时，由线性回归方程可以估计其位置值为y22.6287

2．问题：在时刻x9时，质点的运动位置一定是22.6287cm吗？

二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差．

三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计y值的线性函数abx作为确定性函数；

y的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；

将yabx称为线性回归模型．

说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差；

②忽略了某些因素的影响；

③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：

①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；

②在模型合理的情况下，如何估计a，b？

2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有n对观测数据(xi,yi)(i1,2,3,,n)，根据线性回归模型，对于每一个xi，对应的随机误差项iyi(abxi)，我们希望总误差越小越好，即要使i1n2i越小越好．所以，只要求出使Q(,)(yx)iii1n2取得最小值时的，值作为a，b的估计值，记为a，b．

注：这里的i就是拟合直线上的点xi,abxi到点Pixi,yi的距离．

用什么方法求a，b？

回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a，b的方法：最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到a，b的计算公式为

nn(xix)(yiy)xiyinxyi11ibnn222，

(xx)xn(x)iii1i1aybx1n1n其中xxi，yyi

ni1ni1由此得到的直线yabx就称为这n对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a，b分别为a，b的估计值，a称为回归截距，b称为回归系数，y称为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程y3.53612.1214x中，a3.5361，b2.1214．

3．

线性回归方程yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加b个单位；

4．

化归思想（转化思想）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．

（1）yab1，令y'y，x'，则有y'abx'．

xx

（2）yaxb，令y'lny，x'lnx，a'lna，则有y'a'bx'．

（3）yaebx，令y'lny，x'x，a'lna，则有y'a'bx'．

（4）yae，令y'lny，x'bx1，a'lna，则有y'a'bx'．

x

（5）yablnx，令y'y，x'lnx，则有y'abx'．

四．数学运用

1．例题：

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．

1949

1954

1959

1964

1969

1974

1979

1984

1989

1994

1999

人口数/百万

542

603

672

705

807

909

975

1035

1107

1177

1246

解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x表示，对应人口数用y表示，得到下面的数据表：

年份

x

y

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

542

603

672

705

807

909

975

1035

1107

1177

1246

作出11个点x,y构成的散点图，

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型yabx来表示它们之间的关系．

根据公式（1）可得

b14.453,

a527.591.这里的a,b分别为a,b的估

计值，因此线性回归方程

为y527.59114.453x

由于2004年对应的x55,代入线性回归方程y527.591可14.x45得

，即2004年的人口总数估计为13.23亿. y1322.506（百万）例2．

某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x（万元）与人均产出y（万元）的数据：

人均

资本

x/万元

人均

产出

y/万元

3

4

5.5

6.5

7

8

9

10.5

11.5

14

4.12

4.67

8.68

11.01

13.04

14.43

17.50

25.46

26.66

45.20

（1）设y与x之间具有近似关系yaxb（a,b为常数），试根据表中数据估计a和b的值；

（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．

分析：根据x，y所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对yaxb的两边取对数，就能将其转化为线性关系．

解（1）在yaxb的两边取常用对数，可得lgylgablgx，设lgyz，lgaA，lgxX，则zAbX．相关数据计算如图327所示．

1 2 3 4

A

人均资本B

3 4.12 0.47712 C

4 4.67 0.60206 D

5.5 8.68 0.74036 E

6.5 11.01 0.81291 F

7 13.04 0.8451 G

8 14.43 0.90309 H

9 17.5 0.95424 I

10.5 25.46 1.02119 J

11.5 26.66 1.0607 K

14 45.2 1.14613 x/万元

人均产出y/万元

Xlgx

zlgy

0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 A0.2155,仿照问题情境可得A，b的估计值A，b分别为由lga0.2155可得b1.5677,a0.6088，即a，b的估计值分别为0.6088和1.5677．

（2）由（1）知y0.6088页）

当x16时，y0.6088161.567747.01（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．

2．练习：

练习第1题．第2题

16.7x5．样本数据及回归曲线的图形如图328（见书本P102

五．回顾小结：

1．

线性回归模型yabx与确定性函数yabx相比，它表示y与x之间是统计相关关系（非确定性关系）其中的随机误差提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具；

2．

线性回归方程yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加b个单位；

3．求线性回归方程的基本步骤．

六．课外作业：课本9页第3题．