3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计

《三元均值不等式》的教学设计

太和一中

高洁

一、教学内容：高中数学人教A版选修4-5《不等式的选讲》中的《三元均值不等式》，即三个正数的算术平均数与几何平均数

二、学情分析：学生已经学习过二元均值不等式，并能熟练应用。在二元均值不等式的基础上引导学生类比猜想三元均值不等式，推广n元均值不等式，深入探究三元均值不等式的应用

三、教学目标：理解掌握三元均值不等式及其简单应用之一：求最值。

四、教学重点：

三元均值不等式及其应用

五、教学难点：三元均值不等式的应用

六、教学方法：类比学习法

七、教学过程; （一）、复习回顾

1、

二元均值不等式：

ab如果a,b0,那么ab,当且仅当ab时，

2

等号成立。

2、应用：求最值（正定等）、证明不等式或比较大小

（二）、类比猜想

三元均值不等式：

abc3如果a,b，c0,那么abc,

3

当且仅当abc时，等号成立。

（三）、证明推广

1、如果a,b，c0,那么a3b3c33abc,

当且仅当abc时，等号成立。

1、三元均值不等式：

abc3如果a,b，c0,那么abc,

3

当且仅当abc时，等号成立。

即三个正数的算术平均不小于他们的几何平均

2、变形：

1）a,b,c0,abc33abc

（3

abc

（2）a,b,c0,abc3

以上两式均在abc时，等号成立。

3、n元均值不等式：

对于n个正数a,a,,a,它们的算术平均不小于12n

a1a2anna1a2an

它们的几何平均，即n

当且仅当a1a2an时，等号成立。

（四）知识运用

1、求最值

例1、已知a,b,c0,abc1,求

1a1b1c的最大值。

例2、把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着红线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

（五）深入探讨

1、学习三元均值不等式后，某同学迷惑了，你能帮她解惑吗？以下是该同学对一道题的两种解法：

2

已知x0，求x222的最小值.

x

2222解一：x0,x22x2222

x2x2

22

x22222xmin

22

解二:x0,x22233x222334xx

2x222334

xmin

2、下面是两同学用三元均值不等式对一道题的不同解法：

2

已知x0，求4x2的最小值.

x

22232x2x甲解：x0,4x2x2x36

x2x2x2

2

4x26xmin

222

乙解:x0,4x2x3x233x3x2336xxx

22x22336

xmin

3、下面是两同学用三元均值不等式对一道题的不同解法：

3已知x0，求2x2的最小值.

x

3322甲解：x0,2x22x26x

xx

23

2x26xxmin

31212

乙解：x0,2x22x2332x2334xxxxx

232x334

xmin

3已知x0，求2x2的最小值.

x

33333

正解：x0,2x22x2332x2x2x2x2x2x

3

3336236,当且仅当2x时等号成立，即x时

22x2

33232x36

x2min

（六）方法归纳

利用均值不等式求最值，要注意：

（1）正

（2）定：通过配凑、拆分构造和或积为定值

（3）等：

（七）课后作业

21、已知为锐角，求ysincos的最大值。

2、P10.第12、14题。