3.三个正数的算术-几何平均不等式教学目标设计

第一讲

不等式和绝对值不等式

3

三个正数的算术——几何平均不等式

黄骅中学

李河贤

[学习目标] 1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题. 2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题. [知识链接] 1.应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？

提示

三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.当且仅当三个正数相等时取得. 2.设a，b，c为正数，如何证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立). 证明：

a3＋b3＋c3－3abc =(a＋b)3－3a2b－3ab2＋c3－3abc ＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3abc(a＋b＋c)

=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac) 1=2(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 由于a＋b＋c＞0且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2

1因而2(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0成立. 当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

[预习导引] 1.三个正数算术——几何平均不等式

a＋b＋c3a＋b＋c当a、b、c∈R＋时，3≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称33为正数a，b，c的算术平均，abc为正数a，b，c的几何平均. 2.基本不等式的推广情形

a1＋a2＋…＋ann如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥a1a2…an，当且仅当a1n

＝a2＝…＝an时，等号成立.

教学过程设计

问题1.

用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式

111例1

设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(＋＋)≥9.

abc证明：

∵a，b，c∈R＋，

11133∴a＋b＋c≥3abc，＋＋≥3(abc)－1，两不等式相乘，

abc133有：(a＋b＋c)(＋＋)≥3abc×3(abc)－1＝9. 11abc11∴(a＋b＋c)(＋＋)≥9.

1abc当且仅当a＝b＝c＝0时，等号成立．

111变式

设a，b，c为正数，求证a2＋b2＋c2(a＋b＋c)2≥27. 3【证明】

∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b＋c≥3abc>0，

3从而(a＋b＋c)2≥9a2b2c2>0，

31111又a2＋b2＋c2≥3a2b2c2>0，

111∴a2＋b2＋c2(a＋b＋c)2

≥331abc9222·3a2b2c2＝27，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

规律与方法：

1．(1)在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．

2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．

问题2.

利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值

例2.

求函数y＝3x＋2(x>0)的最值．

4x解析：∵x>0，

33x3x443x3x43∴y＝3x＋x2＝2＋2＋x2≥3××2＝39. 22x33x3x429当且仅当2＝2＝x2，即x＝3时取符号．

3293∴当x＝3时，函数y的最小值为39.

4变式、若2a＞b＞0，试求a＋的最小值．

2a－b·b2a－b＋b44【解】

a＋＝＋

22a－b·b2a－b·b2a－bb4＝2＋2＋

2a－b·b32a－bb4≥3·＝3，

2·2·2a－b·b2a－bb4当且仅当2＝2＝，

2a－bb即a＝b＝2时取等号．

4所以当a＝b＝2时，

a＋有最小值为3. 2a－b·b问题3. 应用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题

例3

如图，在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一ksin θ点到光源的距离r的平方成反比，即E＝r2，这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么空间应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

π2sin θcos2θ0＜θ＜2，

解

∵r＝cos θ，∴E＝k·4

k2k2k22sin2θ＋cos2θ＋cos2θ3k224222＝∴E＝16·sinθ·cosθ＝32·(2sinθ)·cosθ·cosθ≤32·

108，32当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，

12即tan2θ＝，tan θ＝，

22∴当h＝2tan θ＝2，即h＝2时，E最大. ∴当灯的高度h为2 m时，才能使桌子边缘处最亮. 规律方法

利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤

①理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

④验证相等条件，得出结论. 跟踪演练3

设圆锥的母线长为1，试问圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最大？

解

设母线与底面所成的角为θ，则底面半径为cos θ，高为sin θ.∴圆锥的体积πV＝3cos2θsin θ. 设μ＝cos2θsin θ，则μ2＝cos4θsin2θ

222cosθ＋cosθ＋2sin

θ3411222＝，

＝2[cosθcosθ·(2sin θ)]≤23272∴μ≤93(当且仅当cos2θ＝2sin2θ时，等号成立). 2323∴V≤27π，即V的最大值为27π，

6此时cos2θ＝2sin2θ，cos θ＝3，

6即底面半径为3. 课堂小结

1.理解平均不等式，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.

2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的问题.