2.基本不等式ppt配套的教学设计方案

2．基本不等式

1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．

2．能运用基本不等式(两个正数的)解决某些实际问题．

,

[学生用书P5])

1．重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．基本不等式

a＋b(1)定理2：如果a，b>0，那么≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，

S2①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，最大值为．

4②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2P．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) a＋b(1)a，b的算术平均数是ab，几何平均数是.(

) 2(2)应用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”．(

) (3)若a2＋b2≥2ab对任意a，b恒成立，则a＋b≥2ab也对任意实数a，b恒成立．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(

) A．a2＋b2＞2ab

B．a＋b≥2ab

112C．＋＞

ababbaD．＋≥2 ab答案：D 43．已知x＞3，则x＋的最小值为(

) x－3A．2

B．4 C．5

D．7 答案：D 4．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．

解析：因为1＝a＋b≥2ab，

1所以ab≤.

41答案：

4

利用基本不等式证明不等式[学生用书P6]

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9. abc【证明】

法一：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c所以＋＋＝＋＋

abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋

aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111即＋＋≥9.

abc法二：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111所以＋＋＝(a＋b＋c)a＋b＋c

abcbcacab＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1

aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111所以＋＋≥9. abc

利用基本不等式证明不等式的方法与技巧

(1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．

(2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到．

1.已知：a、b、c、d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：由a、b、c、d都是正数得：

ab＋cd≥ab·cd>0，

2当且仅当ab＝cd时，等号成立．

ac＋bd≥ac·bd>0，

2当且仅当ac＝bd时，等号成立．

1所以(ab＋cd)(ac＋bd)≥abcd.

4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

当且仅当b＝c，且a＝d时，等号成立．

2．已知a，b为实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．

a2＋b2a＋ba＋b22证明：由不等式a＋b≥2ab，得≥，即a2＋b2≥，

222b＋cc＋a同理b2＋c2≥，c2＋a2≥，

222（a＋b＋c）三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝2b＝c时，等号成立)

利用基本不等式求函数最值[学生用书P6] 2x

(1)当x＞0时，求f(x)＝2的值域；

x＋13(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；

219(3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy【解】

(1)因为x＞0，

所以f(x)＝2x2＝.

1x＋1x＋x2111因为x＋≥2，所以0＜≤.

x12x＋x所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．

即f(x)的值域为(0，1]．

3(2)因为0＜x＜，所以3－2x＞0.

2所以y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋（3－2x）29≤22＝2.

3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

49所以y＝4x(3－2x)的最大值为.

219(3)因为x＞0，y＞0，＋＝1，

xy19y9x＋(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.

所以x＋y＝xyxyy9x19当且仅当＝，又＋＝1，

xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.

应用基本不等式求最值的步骤

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．

1

1.设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(

) xA．有最大值

B．有最小值

C．是增函数

D．是减函数

解析：选A.因为x<0，

11所以f(x)＝2x＋－1＝－2（－x）＋（－x）－1

x1≤－22（－x）·－1＝－22－1.

（－x）1当且仅当2(－x)＝－，

x2即x＝－时，等号成立．

2故f(x)max＝－22－1. 112．已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________．

xy解析：因为lg x＋lg y＝2，所以lg(xy)＝2.所以xy＝102.

11x＋y2xy21001所以＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

xyxyxy10051答案：

5

3．设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

2x解：由2x＋8y－xy＝0得，y＝，

x－82x所以x＋y＝x＋

x－82（x－8）＋16＝(x－8)＋＋8

x－816＝(x－8)＋＋10

x－816≥2（x－8）×＋10

（x－8）＝18，

16当且仅当x－8＝，

x－8即x＝12，y＝6时，等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

基本不等式的实际应用[学生用书P7]

某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元．

(1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？

(2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？

【解】

设买x张游泳卡，总开支为y元．

48×8(1)每批去x名同学，共需去批，

x总开支又分为：

①买卡所需费用240x元，

48×8②包车所需费用×40元．

x48×8所以y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．

x6464x＋≥240×2x×＝3 840，

因为y＝240xx64当且仅当x＝，即x＝8时，等号成立，

x3 840所以每人至少应交＝80(元)．

4848×4(2)每批去x名同学，共需去批，

x总开支又分为：

①买卡所需费用240x元，

48×4②包车所需费用×40元．

x48×4所以y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)，

x3232x＋≥240×2x×＝1 9202，

即y＝240xx32当且仅当x＝，即x＝42时，等号成立．

x由0＜x≤48，5＜42＜6，x∈Z可知，

325＋＝2 736；

当x1＝5时，y1＝240×5326＋＝2 720.

当x2＝6时，y2＝240×6因为y1＞y2，

所以当x＝6时，y有最小值，ymin＝2 720.

2 720故每人至少应交≈56.67(元)．

48

利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)，最后利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围的制约．

为确保世界杯总决赛的顺利进行，组委会决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72 m2(如图所示)，要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育场外墙对面留一个长度为2 m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x(单位：m)，租用铁栏杆的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数．

(2)试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小值．

72解：(1)依题意有：y＝100x×2＋x－2，其中x＞2.

(2)由基本不等式可得：

72×2＋x－2

y＝100x144＝100x＋x－2≥100(2144－2)

＝2 200，

144当且仅当＝x，即x＝12时取“＝”．

x综上：当x＝12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2 200元．

1．由基本不等式变形得到的常见的结论

a＋b2a2＋b2(1)ab≤2≤2；

a＋ba2＋b2(2)ab≤≤

(a，b∈R＋)；

22ba(3)＋≥2(a，b同号)；

ab11(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b∈R＋)；

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．

1．已知正数x，y满足xy＝1，则x＋y的最小值为________．

解析：正数x，y满足xy＝1，则x2＋y2≥2xy＝2，

22

当且仅当x＝y＝1时，取得最小值2.

答案：2 112．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值是________．

ab解析：因为3是3a与3b的等比中项，

＋所以3a·3b＝3ab＝3，

所以a＋b＝1，

a＋b21所以ab≤2＝4(当且仅当a＝b时等号成立)，

11a＋b1所以＋＝＝≥4.

ababab答案：4 183．当x＞时，函数y＝x＋的最小值为________．

22x－111解析：因为x＞，所以x－＞0，

22184119x－＋所以y＝x＋＝＋≥4＋＝，

12222x－12x－2145当且仅当x－＝，即x＝时，取“＝”．

212x－29答案：

24．已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，求x＋y的最小值．

解：因为(x－1)(y＋1)＝16＞0，y＞0，

所以x－1＞0，即x＞1.

法一：由基本不等式，有x＋y＝(x－1)＋(y＋1)≥2（x－1）（y＋1）＝8，当且仅当x－1＝y＋1，即x＝5，y＝3时等号成立．

故x＋y的最小值为8.

1616法二：由基本不等式，有x＋y＝x＋－1＝x－1＋≥216＝8，当且仅当x＝5，x－1x－1y＝3时等号成立．

故x＋y的最小值为8.