3.三个正数的算术-几何平均不等式教学实录与评析

教学设计方案

课题名称

姓名

三个正数的算术—几何平均不等式

胡 洁

位

年级学科

一、教学内容分析

基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。三个正数的算术-几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术-几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值问题转化为简答问题，在化归方法中起着重要的承接作用。因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想解决问题的意识。在2019年的高考全国卷最后一道题就是不等式的应用，利用公式解决问题，题目比较简单，在掌握公式的前提下，得分的概率比较大。

工作单河北保定外国语学校

新人教A版

本

高二数学

教材版二、教学目标

知识与技能目标：

1、了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明方法和推广形式

2、掌握三个正数的算术-几何平均不等式的形式特征

3、利用公式证明简单的不等式及求简单的最值问题

过程与方法目标：

通过观察归纳、类比、猜想等方法发现、证明、理解、运用定理

情感与态度目标：

培养学生合作交流、独立思考等良好的思维品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，从中获得成功的体验．

教学重点、难点

重点：三个正数的算术-几何平均不等式及其推导过程、不等式的简单应用。

难点：定理的推导及其应用

三、学习者特征分析

学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式的相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点，是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正、二定、三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。

四、教学过程

教师活动

一、复习导入：

问题一：

若a,b>0,a+b=1,则ab的最大值是多少？

问题二：若a,b,c>0,a+b+c=1,则abc的最大值是多少？

预设学生活动

设计意图

问题一复习基本不等式学生回答问题一，问题二的内容，问题会产生各种问题。

二为引出定理做铺垫。

引发学生二、推进新课

1.类比猜想，问题三，类比基本不等式，三个正数会有怎样的结论？

学生自主思考，可能会猜想出多种结论。

思考，促使学生利用类比思想来解决问题。

2、判断学生猜想出的各种不等式是否正确。

让学生判断猜想的式子是否成立。

强调用类比猜想的结论不一定正确

从已有知识

3．猜想：

若a,b,c0,则

abc33abc

学生合作交流，共同探讨定理的推导过程，并板演。

出发，层层推进，调动学生进行逻辑思维当且仅当a=b=c时等号成立。

4.定理证明：

a,b,cR,则a3b3c33abc当的内驱力，逐步导出结论，培养学生演绎推理能力。

且仅当a=b=c时等号成立

5.定理解读；

（1）定理内容

能够用准确的数学语言（2）定理推论

（3）定理对比

在同一表格中，对比基本不等式和三个正数的算术-几何平均不等式

（4）完成问题二

来表述定理。

类比基本不等式，引导学生对定理进行解读，让学生抓质，提高学生住利用定理解决问题的关键。

运用定理解决问题的能力。

对定理有效的解读有利于学生抓住本三、课堂例题

例1：学生快速完成公式的应证明。

用，让学生初

步体会定理解

决问题的方

例2：学生完成，并且

板演过程。

例3 学生完成

法。

在完成例2的过程中可能会出现错解，解释错误原因，并强调定理使用过程中的要求，规范解题过程

例3:2019全国高考题

四、课堂小结

本节课学习了三个正数的算术-几何平均不等式及其应用。

重点：不等式成立的三个条件“一正二点三相等”

难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法。

五、课后作业