3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计方案

三个正数的算术-几何平均不等式

教学设计

教材分析：人教A版必修5学生系统地学习了不等式的基本性质及基本不等式，能熟练运用基本不等式解决有关生活和数学中的最值问题；尤其是能运用“一正，二定，三相等”和“和定积最大，积定和最小”的方法和规则判定能否运用基本不等式。本节课是对基本不等式知识的推广和延伸。对运用两个正数的算术—几何平均不等式不能解决、也不能运用导数解决最值问题，三个正数的算术—几何平均不等式的学习是必须的，是不可或缺的。另外，在研究三个正数的算术—几何平均不等式的过程中，通过引导学生类比基本不等式的形式和限制条件得到三个正数的算术--几何平均不等式的形式和限制条件，启发学生探究思索、归纳、抽象等；对学生进行情感价值观的教育都是很好的素材。

教学难点及应对策略：

三个正数的算术—几何平均不等式成立时的三个限制条件：“一正，二定，三相等”是基本不等式的难点，也是本节课的难点。

1、本节课通过一个高考试题让学生温故知新，并体会基本不等式的三个限制条件的重要性，在本节课中起到承前启后的作用。在教学过程中通过问题“类比基本不等式的形式，猜想对于三个正数a,b,c会有怎样的不等式形式？”诱导学生回顾基本不等式的基本形式和限制条件使本节课的知识形成过程不那么生硬，而是水到渠成。

2、鉴于三个正数的算术几何-平均不等式的形式和限制条件跟基本不等式是一样的，所以本节课在板书时特意将基本不等式的三个正数的算术—几何不等式并排写在黑板上让学生对比基本不等式的有关知识进行归纳、类比、猜想。

3、在这节课中采用讲练结合、感知、抽象、类比、归纳、探究、启发诱导的教学方法。以学生为主体，以问题为载体，两个不等式的形式和限制条件为主线放手让学生探究思索。

4、以多媒体课件作为辅助手段，通过多媒体展示本节课的思考和习题，层层推进。强调的知识的形成过程；符合学生的认知规律，是教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程；进而培养学生的创新意识。

教学过程：

一、温故知新：若

，且

下列不等式恒成立的是：

（多媒体展示）

设计意图：利用高考原题让学生回顾基本不等式的运用限制条件，为本节课的学习做好知识体系上准备；起到承上启下的作用，让学生感受到知识的形成过程自然、流畅、水到渠成。

二、新知探究

1、思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数

，

，

，会有怎样的不等式成立？（多媒体展示）

板书：通过师生互动，学生回忆并表述基本不等式的基本形式及其限制条件，老师板书。

2、定理

：如果

,那么

，当且仅当

时，等号成立。

设计意图：老师提问个别学生类比、猜想三个正数的算术—几何平均不等式的形式，并将形式写在黑板上，与基本不等式形成对比。

3、合作探究：证明上述定理

设计意图：通过师生协作，利用作差法证明上述不等式；利用此项活动很好的培养学生的独立思考的习惯，勇于探究的学习精神。（对于文科学生，有必要提示立方和公式和和立方公式）

4、例题1: 已知

,求证

设计意图：通过一道简单的例题直接运用所学公式，并强调等号成立的条件

三、应用深化

1、思考：类比基本不等式，三个正数算术几何平均不等式又有哪些应用呢？

设计意图：由基本不等式的“和定积最大，积定和最小”两大应用类比产生三个正数的算术—几何平均不等式的相应应用。培养学生的类比、归纳的能力。

2、板书：“和定积最大，积定和最小”

多媒体展示：

应用1：

若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．

应用2：

若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．

3、例2:

求函数

的最小值．

设计意图：

⑴

通过引导学生分析能否直接运用两个正数的基本不等式，让学生进一步体会运用不等式解决最值问题的限制条件；

⑵

通过师生互动，将

拆分成

,构造三个正数的积定的意识，进一步提高学生解决最值问题，勇于探究的学习品质。

⑶

诱导启发学生采用导数求函数的最值方法。提倡一题多解。

4、课堂练习：（试一试）

1、

函数

的最小值是

（

）

B.

C .12

D .9 2、函数

的最小值是

(

)

B.

C .

D .

设计意图：运用所学解决有关最值问题

小结：

1、

一个推广；

2、

三个条件；

3、

两个应用；

4、

一个思想：类比

作业：

习题1.1（第10页）第9、10、11、12、14题