二 一般形式的柯西不等式课程导入及其完整教案

课

题：§一般形式的柯西不等式

教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：

一、复习引入：

. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？

几何意义？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2

. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2。。。。。。

二、讲授新课：

. 一般形式的柯西不等式：

①

提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？

②

猜想：维向量的坐标？维向量的柯西不等式及代数形式？

结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR，则

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2

讨论：什么时候取等号？

联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22an2，Cb12b22bn2，则有B2AC0，可联想到一些什么？

③

讨论：如何构造二次函数证明维形式的柯西不等式？（注意分类）

2222要点：令（fx）（a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)

，则f(x)(a1xb)2(a)12xb22+（anxb)n20. 2又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，

2(a1b1a2b2anbn)4(a12a22an2)(b12b22bn2)≤

即有要证明的结论成立.

④分析什么时候等号成立？

fx）二次函数（有唯一零点时，判别式0，这时不等式取等号；

0aixbi0bi0或aikbi（i1,2,实数，则：,n）

定理：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于的自然数，ai,bi（i，，…，n）为任意ab2ii1i1nn2i，…，n）或存在一个数k，(aibi)2，当且仅当bi0（i，i1n使得aikbi（i1,2,,n）时等号成立。

⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究）

利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式：

x12x22xn2y12y22yn2≥(x1y1)2(x2y2)2(xnyn)2

(xi,yiR,i1,2,,n)

22具体证法为：展开(x1x2xn2y12y22yn2)2，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。

⑤

变式：a12a22. 柯西不等式的应用：

1an2(a1a2an)2.

（讨论如何证明）

n

1n①例、已知a1，a2，…，an为实数，求证：ai(ai)2。

ni1i12n分析：不等式的形式与一般的柯西不等式很接近，但必须经过适当变形才能看出两者是完全一致的。因此，如何适当变形是解决本题的关键。

推论：在n个实数a1，a2，…，an的和为定值为时，它们的平方和不小于仅当a1a2an时，平方和取最小值12S，当且n12S。

n2222②例、已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：abcdabbccdda

方法一：轮换对称式，可以利用柯西不等式进行证明，注意为什么等号不能成立？

方法二：利用基本不等式

③例、已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？

→

板演

→

变式：

111yz④练习：若x,y,zR，且1，求x的最小值. xyz23⑤例、若a>b>c，求证：

思路：(ac)(三、课堂练习：

114. abbcac1111)[(ab)(bc)]()(11)24

abbcabbc1xin1419

、设，，为正实数，且，求的最小值。

xyz2xyzi1、设，，…，>, 则nxii1nxi

、设，，，求x2yz22222的最大值。

、求证n(n3)个正实数，，…，满足

(a1a2an)2(n1)(a1a2an)

、设x,y,zR,2444x2y2z2:2221。

222yzyzzxzxxyxy四、课堂小结：

柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 五、课后作业：课本 —

人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息

零碎的时间实在可以成就大事业

珍惜时间可以使生命变的更有价值

时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连

一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦

得到时间，就是得到一切

用经济学的眼光来看，时间就是一种财富

时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽

我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近

夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望

不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为

时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费

我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间

时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。

新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。

每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！”

不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！

如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。

学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。

藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。

学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。

不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向