2.基本不等式ppt配套教案和课堂实录

1.1.2 基本不等式

一、教学目标

1、学会推导并掌握基本不等式，用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程;理解它的几何意义，掌握基本不等式等号成立条件

；（重点）

2、会应用基本不等式解决一些简单的实际问题；（难点）

3、渗透“化归与转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力。经历几何与代数的结合运用，体会各种事物之间的普遍联系。

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式)．

四、教学难点

掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

五、教学过程

（一）导入新课

(导入语)在必修五中我们已经学习了重要不等式和基本不等式，同学们还记得它们的内容是什么？常可以用来干什么？

定理一（重要不等式）：如果a,bR那么ab2ab当且仅当a=b时取“=”

22ab2定理二（基本不等式）：如果

a,b是正数，那么取“=”）

ab（当且仅当a=b时本节课我们进一步从数和形两方面来认识这两个不等式，体会在解题当中的作用即注意事项。

（二）讲授新课

1.定理一的代数证明（由学生完成）（作差法）：

a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

2. 定理一的几何解释

如图：正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，其面积分别为多少？

长方形DCJI和长方形BCGH的长和宽都是a和b,其面积分别为多少？

两个正方形的面积和与两个长方形的面积和有什么关系？

3.如果a0,b0,我们用a,b分别代替a,b,可得什么不等关系? abab

2【证明】由于a,bR，于是要证明 只要证明 ab2ab， 即证 (a)2(b)22ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，所以abab，当ab时取等号．

2abab，

24．你能通过下列方案,得到上述不等式的几何解释吗? 如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点, ACa,BCb,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD. 【分析】根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

ab于是有ab

2AaCbOBD当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

故而再次证明：

当a0,b0时，abab（当且仅当ab时，等号成立）

2E

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

5.你能给出基本不等式的其他解释吗？

6.我们把ab叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均2数.请用这两个概念描述上述不等关系. 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

7我们把ab看做正数a,b的等差中项,把ab看做正数a,b的等比中项.请用2这两个概念描述上述不等关系. 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

（三）、应用举例

（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

1.解决上述问题。

解：(1)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：xy=100 由基本不等式可知：xy2xy（等号在x=y时取得）

所以当x=y=10时，x+y有最小值20 答：这个矩形的长、宽分别为10米时，所用篱笆最短，最短的篱笆是20米。

(2) 设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：2x+2y=36，即x+y=18源学#科#网Z#X#X#K][来

由基本不等式可知：xy2xy（等号在x=y时取得）

所以xy(xy2)81，等号在x=y=9时取得

2答：这个矩形的长、宽分别为9米时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米。

由这个例子可以得到如下结论：

（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

例2、某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图如图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每

平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米80元。

（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。

规律总结：

建立定义域“＝”成设出变量――→数学模型――→利用均值不等式求最值――――→结论

立的条件（四）归纳小结

—定理的理解—证明不等式基本不等式——求最值—实际应用六、板书设计

1.1.2基本不等式

1．两个定理

例1：

例2：

：

学生板演练习

七、作业布置

习题1.1 5，10，13，14