三角形内角和定理第一课时导学案

三角形内角和定理

第一课时

课标分析

第三学段（7-9年级）：探索并证明三角形的内角和定理。 教材分析

是本章重点，发展学生的思维能力、培养学生解决问题的能力。既是知识的延续，又是进一步学习的基础，承上启下的作用。 学生分析

小学的时候学生已经通过拼接的方法了解到三角形的内角和是180度，但没有具体的说理过程，在初一上册学***行线的性质后，学生可以用所学知识独立完成三角形内角和定理的说理过程、通过小组合作可以完成三角形外角性质及外角和。

七年级学生好动,好奇,好表现,应采用形象生动,形式多样的教学方法和学生积极参与的学习方式,去激发学生学习的兴趣，发挥学生的主动积极性。

教学目标：

知识与技能：

1.总结三角形内角和定理的证明极其简单应用，能用多种方法独立推证三角形内角和定理；

2.通过三角形内角和定理的证明，提高逻辑思维能力；

3.通过对定理的分析与讨论，发展求同和求异的思维能力。

过程与方法：

经历一起探究、合作交流，探求证明的思路以及证明过程的过程，如问题的条件不够，则添加辅助线。

情感态度价值观

1.通过多角度探究证明思路，体会思维的多向性；

2.在探究的过程中学会与他人合作，并深深体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

教学重点和难点：

重点是三角形的内角和定理。

难点是在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。

教学方法：启发引导、合作探究

课时安排：1课时

教具学具准备：投影仪或电脑、三角板、幻灯片

教学过程设计

教学过程

材料呈现

1.完成下面的填空题

（1）完成1至3题 如图,3根木条相交。若a∥b,则(1)∠1___两直线平行,同位角相等=∠3,理由:_________________(2)∠1___=∠4,理由:_____________两直线平行,内错角相等4(B1(活动组织

学生观察审题，思考解决问题的方法．

组内交流解决问题的方案及答案．

通过解决三兄弟之争，引出三角形内价值期望

A2C3a(3)∠1+∠2=180°.,理由: 两直线平行___________b同旁内角互补把木条a绕点A转动,使它与木条b相交于点C.得到什么几何图形？

创（2）通过一组平行线，我们将∠1平移到了设∠3的位置由此可以知道平行线具有等情角转化的功能。

境

（3）将a旋转形成三角形。

2.三角形是我们非常熟悉的图形，在数学王国里，有两个三角形在街上相遇了，我们一起看看有什么故事发生了。

设丰富的问题情景，体验所学内容与现实世界的密切联系，引起学生对学习内容的注意，激发学生的学习兴趣，引导出本节课的教学内角和180，引容．

导出本节课

问题情境所要探究的内容．

三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的面积比你大，所以我的内角和也比你大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量看！”蓝用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了！同学们，你们知道其中的道理吗？

一、板书：三角形三个内角的和等于180°。

教师指出：这只是实验得出的命题，不能当做定理，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，那么如何证明此命题是真命题呢？

（1）分析命题的题设和结论。

题设是：一个三角形

结论是：三个内角的和等于180°

（2）把文字语言转化为几何语言：画图，写出已知求证，

你能验证这个命题吗？命题：三角形三个内角的和等于180°

我们知道三角形三个内角的和等于180．你还记模型建立

条件结论已知：△ABC求证：∠A +∠B +∠C =180°

二、分析探究证明方法

1.联想、启发：想一想在已学的几何定义、定理中，会出现180°的有哪些结论？

（有什么方法可以得到180°）

（思路一：平角的度数为180°，思路二：两直线平行，同旁内角和为180°）

2.探究思路一：利用平角等于180°

如何做到把三个内角转化成一个平角呢？

（1）曾经把一个三角形的三个内角撕下来拼在一起得到一个平角，我们欣赏一些拼图，看看能否得到一些启发。

得这个结论的探索过程吗？

再现解决问题的方法：用纸制三角板拆、拼或到黑板上粘贴．

经历从现实生活中抽象出几何模型的过程．

通过情境的确定使学生建立思维活动基础，思考、探索、明确解决问题的方法，培养自主学习的习惯．

让学生通过已有的生活经验和数学知识，探索三

三角形的三个内角和是180°AABCAB图1CBB图2C有些时候我们不能把角撕下来，通过什么方法可以达到移动角的效果呢？从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?

（2）首先观察图1，然后师生完善证明过程

（3）强调辅助线

当然，并不是所有的证明题都需要添加辅助线，只有在需要时才添，当为证明某一结论，需要引用某个定义，公理，定理，但原图形又不具备直接使用它们的条件，这时就需要添加辅助线，为证明创造条件，构成新的图形，从而搭建起由已知到未知互相沟通的桥梁。

（4）展示完整的证明过程

AE求证：三角形三个内角的和等于180°1B C2D已知，如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB.则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠1+∠2=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）（5）观察图2，图2学生独立完成，指明板演

根据前面给出的公理和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴交流．

教师向学生交待添加辅助线的必要性，当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况，这是解决问题常用的策略之一，辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定．

角形内角和定理的证明过程，把知识的形成过程，变为知识的发生、发展的创造过程，实现定理证明掌握的感生到理性的自然深化，培养学生的创新意识．

让学生搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的要件方法，充分让学生表述自己的观点，目的经历这个过程培养学生的能力．论述的依扰不充公，学生可争论，共同完善，共同提高．

求证：三角形的内角和等于1800.已知：△ABC.求证：∠A +∠B +∠C =180°证明：过点A作EF∥BC则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）同理∠C=∠1BCEAFFE 因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）

（6）刚才我们通过过三角形的一个顶点作对边的平行线，达到了把三个内角转化成一个平角的目的，除了可以在顶点处做平行线构建平角外，同学们有其他的想法吗？

是否可以把三角形的三个角“凑”到边上的任意一点呢？

A已知，如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°FE模型建立

4证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.则有∠2＝∠B，∠3＝∠C，∠4＝∠A （两直线平行，同位角相等），∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1＝∠A（等量代换）.又∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠C＝180°. B CD312

是否可以把三个角“凑”到三角形内的一点呢？

议一议：ASQPNRBMTC(2)

是否可以“凑”到三角形外的一点呢？”

对于三个图形，向学生提示抓住根本，即把三个角搬到一起．

学生自主探索，口述证明过程，其他同学提出异议或补充，教师点评．

通过“一题多解”的探究形式，开拓学生思路，培养学生的思维能力和推理能力．

经历动手操作、参与讨论交流的过程，培养学生合作探究能力，感受三角形内角和定理模型建立的证明过程与方法．

议一议：SNPQMBARTC

（7）欣赏上面的图形，课下进行证明．

3．探究思路二：利用平行线的同旁内角（板书）

（1）按照思路一还有很多方法，先讨论到这。

考虑思路二，能否将三角形的三个内角转化成平行线的一组同旁内角呢? 求证：三角形三个内角的和等于180°能否将三角形的三个内角转化成平行线的一组同旁内角呢?观察下面的拼图，你找到答案了吗？ABB图3C

证明：三角形三个内角的和等于1800.LA证明：过A作AE∥BC，已知：△ABC.则∠B=∠1求证：(两直线平行,内错角相等)∠A +∠B +∠C =180°因为∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)BC所以∠B+∠BAC +∠C=180°（等量代换）

能否将三角形的三个内角转化成平?观察下面1的延长线（2行线的一组同旁内角呢）这种方法相当于将前面法的拼图，你找到答案了吗？去掉，法2的直线变成射线而得到的图形，你发现了吗？

（3）欣赏下面的证法：

任作射线AD交BC于D，分别过点B、C作BE∥DA，CF∥DA（如图），

首先独立思考，独立画图，写出已知，求证，尝试证明，每名学生都动笔，教师巡察指导．

学生展示自己的方法，互相交流，点评，对比中明确不足，拓宽思维面．

小组内合作交流，探索其它方法来证明三角形内角和定理．

欣赏：

方法还有很多，同学们课下有兴趣可以接着探讨

模型建立

三、异曲同工：

学生欣赏并再现三角形内角和定理证明的过程，能找到理解证明过他们的共同点吗？

程，学会根据平行线的性能找到他们的共同点吗？质和方程来解决三角形内角和定理的证明．

让学生体会到学数学，要善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题．

作平行线，然后根据平行线性质，利用内错角和同位角将三角形三内角转化为一个平角或同旁内角．

独立思考完成第1题

使学生能够灵活应用三角形内角和定理．

在应用中加深对三角形内角和定理的理解，提高1．再现

三种语言☞三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.B∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.AC模型应1. 用

这里的结论,以后可以直接运用.

反馈练习，小试牛刀问题1比一比，看谁最快求出下列各图形中，∠1、∠2和∠3的度数.A60D58267N3B401CEFH7043M∠1=80°；∠2=55°；∠３=67°．

2. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠A＝36°，则（1）∠ABC=∠C=____°, （2）作∠ABC的平分线BD交AC于D，则∠ABD=____°, ∠ADB=____°. 在直角三角形中，由内角和定理，你有什么猜想？

3. 例1：证明：直角三角形两锐角互余

变式练习1：过C 作CD⊥AB于D，

变式练习：☞已知：在△ABC中，∠C＝90゜，过C 作CD⊥AB于D，猜想∠A与∠BCD的大小关系，并说明理由B∠A＝∠BCDDAC

变式练习2：将上面的已知∠ACB＝ 90゜与结论∠A＝

∠BCD交换位置，即：已知：在△ABC中， CD⊥AB于D ，∠A=∠BCD 则∠ACB=90°这是一个真命题吗？若是加以证明，若不是请举出一个反例。

变式练习2：

小组合作探索、交流完成第2题．

学生板演，学生进行辨析，教师点评．

学生经历猜想、动手实践、自主探究得出结论．

小组内交流达成共识．

学生汇报讨论结果，教师点评．

解决问题的能力，渗透在实践中巩固新知的方法．

猜想是学习数学，发现新知识、创造新方法一种手段．学生经历动手实践和理论证明验证猜想，意在引导学生利用运动变化的观点理解和认识数学，并培养学生的推理能力．

☞已知：在△ABC中，CD⊥AB于D，∠A=∠BCD则∠ACB=90°B是DAC这是一个真命题吗？若是加以证明，若不是请举出一个反例。

变式练习3：在变式2的基础上，平移CD 使其与AC的延长线交于点E,这时∠BCD平移到∠1的位置，即∠1=∠A，则∠ACB=90°的结论还成立吗？

变式练***移CD 使其与AC的延长线交于点E,这时∠BCD平移到∠1的位置，即∠1=∠A，则∠ACB=90°的结论还成立吗？B1DA？CE课堂小结

这就是课本上习题第2题，证明过程就作为今天的作业。

通过本节课的学习你有哪些收获．

学生积极参

与，开展小组讨论交流，畅谈收获

形成归纳总结的学习习惯，提高学生的概括能力，同时检验三维目标的达成情况

教学反思：

《三角形内角和外角》是冀教版七年级数学下册学生掌握了三角形的特性和分类之后的一个内容。三角形的内角和为180°是三角形的一个重要性质。它有助于学生理解三角形三个内角之间的关系，也是学生下一步学习三角函数的基础。通过前面的摸底，我发现百分之八十的学生对三角形的内角和是180度是知道的，但都没有仔细研究过。学生有了这样的基础之后，对教师来说，要展开教学还是有困难的。怎么样才能让学生在整堂课中有所收获呢？我把教学目标定位在让学生经过操作、验证等一系列活动，经历猜测、验证的过程，从而习得知识，并得以巩固。我是这样安排的：

一、动手测量验证

在这个过程中，我分了二个层次，第一：学生量教师给的三种类型的三角形。第二：生任意画一个三角形进行验证。让学生经历从特殊到普遍的过程。这是动手操作的过程。因为前面没有试教过，所以在这里花的时间比较多，我自己觉得课上得有点拖，也有点沉闷。但在这一过程中，我也发现了很多的问题。很多学生是运用180度这个结论来量的。比如说他先量了二个角，最后一个角就不量了，直接用180度减去前面二个角，就是第三个角。我想如果这样的话就失去了测量的意义了。在交流的过程中，很多同学都说他们测量的结果是180度，导

致另外一些不是180度的学生不敢表达自己的意见。我想面对这样的问题，如果我在交流反馈的时候，再多加一个环节，问你量出来的三个角分别是几度，内角和是几度，这样是不是会减少一些这样的问题。

二、通过剪剪拼拼，再次验证

这一环节，我选择了直接告诉学生，剪下三个角来拼一拼，看看有什么发现。

通过了解，其实有一些学生是知道的。让学生剪角、拼角，所以一些学生有这样的基础。其实在实际的操作过程中，在我电脑演示了剪与拼的过程之后，再让学生自己任意剪一剪、拼一拼的时候，还是有很多学生是不会拼的，不知道三个角该怎样放。我想在这个过程中，我在电脑演示的时候，如果再多加引导一下的话，可能在操作的过程中，更多的学生能够参与进来。

整堂课下来，我自己觉得上得有些沉闷，由于操作活动比较多，学生的注意力也不是非常集中，当然这和我自己有很大的关系，课堂气氛没能调节得很好。在这节课中，我就觉得虽然验证的过程很严密，从特殊到普遍这样一个过程，但是留给学生思考的空间特别少，学生只是进行一些操作。请学生选择自己喜欢的方法对钝角三角形和直角三角形进行验证，我认为这样设计会比较好。