6.1 二元一次方程组教学实录

二元一次方程组

教学目标

1．了解二元一次方程(组)及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系．

2．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

预习反馈

阅读教材，完成下列预习内容．

1．(1)含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

(2)方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

(3)一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

(4)一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

(5)二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解．

2．下列哪些是二元一次方程？为什么？

(1)x2＋y＝20;

(2)2x＋5＝10;

(3)2a＋3b＝1;

(4)x2＋2x＋1＝0;

(5)2x＋y＋z＝1. 解：(3)是二元一次方程．

【点拨】

判定二元一次方程的标准有两点：①方程含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1. 3．下列哪些是二元一次方程组？为什么？

3x－2y＝9，x－3y＋9z＝8，

(1)

(2)

y＋5x＝0；y＋3z＝5；x＝2，xy＋y＝5，(3)

(4)

x＋y＝1；x－y＝4.解：(1)(3)是二元一次方程组．

【点拨】

方程组(3)也是二元一次方程组．只要两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们就组成一个二元一次方程组．

x＝2，4．方程kx＋3y＝5有一组解是求k的值．

y＝1，解：k＝1.

例题分析

例1

我们古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解．

【解答】

设有x只鸡，y只兔，根据题意，得

头

足

鸡

x 2x

兔

y 4y

合计

35 94

由鸡和兔的头的总和为35，足的总和为94，可得到关于x，y的两个方程为：

x＋y＝35，2x＋4y＝94. 观察上面两个方程，它们有何共同特征？

(1)含有2个未知数．

(2)含未知数的项的次数都是1. 总结：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

【点拨】

(1)“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；(2)方程的左、右两边都是整式．

上面的问题中，包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋yx＋y＝35，＝35和2x＋4y＝94.把这两个方程合在一起，写成组成了一个方程组．

2x＋4y＝94，总结：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

【跟踪训练1】

下列方程组中，是二元一次方程组的是(B) x＋3y＝105m＋n＝－1A.

B.

2x＋z＝－14m＋n＝－32a＋b＝0C.

ab＝－1

3t＋s＝1

D.1

－s＝11t例2

我们来看例1中的方程x＋y＝35，满足这个方程，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13

1415 …

343332

31

30

28272625242322212029…

【解答】

由上表可知，x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；…；使方程x＋y＝35两边的值相等，它们都是方程x＋y＝35的解．

总结：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

【点拨】

一般地，一个二元一次方程有无数个解．如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么可能有有限个解．

我们还发现，x＝23，y＝12既满足例1中的x＋y＝35，又满足2x＋4y＝94，也就是说，xx＋y＝35，＝23，y＝12是这两个方程的公共解．我们把x＝23，y＝12叫做二元一次方程组2x＋4y＝94x＝23的解，这个解通常记作．

y＝12总结：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

x＝1，【跟踪训练2】

解为的方程组是(D) y＝2

A.x－y＝13x＋

B.x－y＝－1y＝5

3x＋y＝－5

C.x－y＝33x－y＝1

D.x－2y＝－33x＋y＝5

巩固训练

1．下列属于二元一次方程组的是(A) A.xy353＋5＝4

B.x＋y＝4x－y＝0x－y＝0D.y＝12x－2

xy＝12．方程组3x－2y＝5，的解是(B) 5x＋4y＝1A.x＝1y＝1

B.x＝1y＝－1D.x＝13

y＝－2

课堂小结

1．二元一次方程组及其解的概念是怎样的？

2．如何检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解？

C.x＋y＝5x2＋y2＝0x＝2

C.1y＝2