二次函数求实际问题中的最值教学目标

石家庄第49中

第34章

二次函数

新授课

第10个导学案

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34.4 二次函数的应用

一、学习目标

1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；

2．会应用二次函数的性质解决问题．

二

、知识准备：

1）已知：二次函数y=2(x－3)2+4，当x＝______时，y有最_____值为_______。

2）已知：二次函数y=－112

x2+23

x+143

，当x＝_____时，y有最_____值为_______。

3）已知：二次函数y=－12

x2+3x+1，且自变量x的范围为0≤x≤2，当x＝_____时，y有最大值为_____

三、探索新知

1. 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？

2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？

解：（1）设每件涨价x元，则每件利润

元，每星期少卖_________件，实际卖出_________件，

（2）设每件降价x元，则每件利润

元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．

（3）设总利润为y,求利润y与x的函数关系式

（4）定价才能使利润最大

3 某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

x 3 5 9 11 y 18 14 6 2 （1）在所给的直角坐标系甲中：

①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；

②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．

（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：

①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．

②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．

4某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =1100x＋150，

成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润

=

销售额－成本－广告费）．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为

常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳12100x

元的附加费，设月利润为w外（元）（利润

=

销售额－成本－附加费）．

（1）当x = 1000时，y =

元/件，w内

=

元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

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第34章

二次函数

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二类（高度问题）

1、如图一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y122512x3x3，问此运动员把铅球推出多远？

思考：如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面53m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

2.如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高1.25米，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）

3．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

4．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；

（2）求支柱MN的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

图①