2.3.1 圆的标准方程名师教学设计

2.3.1圆的标准方程

教学目标

1、知识目标：

①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的标准方程。

②会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

③会用不同方法判断点与圆的位置关系。

2、能力目标：

①进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

③通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

3、情感目标：

①培养学生勇于探究问题的能力，

学会在错误中反思并获得学习自信；

②增强学生学习的积极性，提高学习的乐趣。

教学重点与难点

1、重点:圆的标准方程的求法及其应用.

2、难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 教学过程与设计

一、情境引入

1、生活中对于圆都有哪些应用？

2、自学探究

问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？

问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？

二、新知探究

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探究一：

1.在平面直角坐标系中，半径为r的圆C上任意一点M(x,y),可以看着是满足什么条件的点的集合？

2.已知圆心坐标为C(a,b),半径为r,如何写出圆的方程?

3.是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

点M(x, y)在圆上，因此，点M的坐标 方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 ，即点M在圆心为C (a, b)，半径为r的圆上．

4.圆的标准方程有什么特征？圆心、半径各是什么？特别地，当圆心在原点时,圆的标准方程是怎样的？

探究二：

点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？

三、应用举例

练一练1:按要求完成下列各题. 1.圆心在点C(3, -4), 半径为7，圆的标准方程是？

2.写出圆心为A（1,0），半径长等于2的圆的方程，并判断点 B（3,0），C（2,3）是否在这个圆上。

设计意图：直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的性质问题作准备，第二题除了学生能回答出圆的标准方程外，还要能通过坐标代入法判断一个点是否在圆上，这里为探究点与圆的位置关系作准备。

练一练2：按要求完成下列各题. 1.点P（0，5）与圆x+y=24的位置关系是？

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2.点( a+1, a-1)在圆x+ y= 4的内部,求实数 a 的取值范围. 设计意图：设计的这两个小题，几何法角度分析点与圆的位置关系：讨论圆心离原点的距离d与半径r的大小；

坐标法角度分析点与圆的位置关系：讨论将点的坐标代人方程的式子与r^2大小.

四、典型例题

例1.△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 设计意图：由初中所学的不共线的三点唯一确定圆升华到可以唯一求得圆的标准方程，进一步巩固旧知并明确要求得圆的标准方程需要三个条件。

例2．

求经过两点A(1,1)，B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上的圆的标准方程. 设计意图：几何法直接求得圆心C的坐标和半径大小，从而得出圆的方程。我们还可以让学生用待定系数法求圆的方程，在寻求待定系数法的等式时又有多种思考途径：圆的几何意义（半径相等或对称性）；向量的运用（数量积相等或垂直向量内积为零）。

当学生的解法出现得较多时，引导学生归类：几何法与待定系数法。

解法归类后提出要求：此题你还有几种解法，课后小组内进行交流。

五、课堂小结

①圆的标准方程的形式；求圆的标准方程要求出圆心坐标及半径大小，有时要用待定系数法，还要善于利用圆的平面几何的知识构建方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. 六、布置作业

1.写出下列圆的标准方程：

①圆心C（-3,4），半径r=

2.点P（m，5）与圆x+y=24的位置关系是?

3.已知点A(-1,4)，B(3，2)，求以线段AB为直径的圆的方程？

4.圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1)的圆的方程？

5.圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22的圆的方程？

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2222 2 5； ②圆心C（8，-3），且过点M（5,1）

五、评价分析

设计理念：

1.数学课堂是学生学习数学知识、运用数学方法、体会数学思想的过程，教师的责任在于激发学生的主体意识，召唤学生的学习热情。 2.高效的数学课堂实际上是学生高效学习的一个历程，教师要善于帮助学习寻求适合的、高效的学习方法。 3.数学学习是一个思维碰撞的过程，教师设计出适合学生的情感体验节点，努力让学生心动而神动，营造出师生心灵共振的景象。 设计思路：

圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用坐标法研究圆的标准方程及其简单应用。首先，在已有圆的定义和求轨迹方程的一般步骤的基础上，引导学生探究获得圆的方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程确定的多样性激活学生思维、激发探究兴趣、领悟数学的灵动性。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在探究圆的标准方程时和例1中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成. 本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以以学生为主体的指导思想。学生学习知识的过程是学生操作、观察、发现、分析、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼思维．提高能力、培养兴趣、增强信心。

不妥之处，敬请指教。

谢谢各位老师！

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