小结新颖的课程导入教案

数系的扩充与复数的引入复习指导

『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．

『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．

『复习过程指导』

在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．

在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：

多项式类比

复数

类比

向量

运算

运算

运算

转

化

有理数

转化

实数

类比

运算

运算

一．数学思想方法总结

1数学思想方法之一：类比法

（1）复数的运算

复数代数形式的加法、减法运算法则

(abi)(cdi)(ac)(bd)i

复数代数形式的乘法运算运算法则：

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．

（2）复数的几何意义

我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：

复数集C＝abi|a,bR与坐标系中的点集(a,b)|aR,bR一一对应．于是：

复数集z＝abi

复数集z＝abi

数轴上向量运算

复平面内的点Z(a,b)

平面向量OZ

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例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数位于

( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限

i2＋(1＋3i)对应的点

1i1ii2123i3

＋(1＋3i)＝21i31

＝(23)i

223131因为复数(23)i对应着直角坐标平面内的点(,23)，

2222解答：复数

故在第二象限，答案为B．

此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．

例2．非零复数z1,z2分别对应复平面内向量OA,OB，若|z1z2|=|z1z2|

则向量OA与OB的关系必有（ ）

，共线

A ．OA=OB B．OAOB C ．OAOB D．OAOB解答：

由向量的加法及减法可知：

OC＝

OAOB

B A yC

AB＝

OBOA

由复数加法以及减法的几何意义可知：

|z1z2|对应OC的模

|z1z2|对应AB的模

o

图１

x

又因为|z1z2|=|z1z2|，且非零复数z1,z2分别对应复平面内向量

OA,OB

所以四边形OACB是正方形

因此OAOB，故答案选B．

注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义

（3）复数的化简

虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．

例３（2005高考天津卷理(2)）若复数a3i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，12i

则实数a的值为

（A）-2

(B)4

(C) -6

(D)6 解答：由a3i(a3i)(12i)a6(32a)i＝＝

122212i(12i)(12i)a632ai

55a3i

因为复数是纯虚数

12ia632a0且0

所以55

解得a6

＝

故答案选C．

注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数bi）＝a2b2

(12i)(12i)＝５，一般地（abi）（a

这也是一个复数与实数转化的过程，即a632ai是纯虚数可得：55a632a0且0，

552．数学思想方法之二

转化法

我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．

实数a(b0)

基础知识：复数abi

纯虚数bi(a0)虚数abi(b0)（a0)非纯虚数abi例４（2005高考北京卷（9））若

z1a2i, z234i，且实数a的值为 ．

解答：z1为纯虚数，则

z2z1a2i(a2i)(34i)3a864ai

＝＝2234i342525z2z1为纯虚数

z23a864a80且0．解得a

25253abicdi因为所以

例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设a、b、c、dR，若为实数，则，

（A）bcad0（B）bcad0

（C）bcad0（D）bcad0

解答：

由abiacbdbcad22i

22cdicdcdabi

因为

为实数，

cdibcad0，即bcad0

所以其虚部2cd2

故答案选C．

这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．

类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．

二．解题规律总结

１有关虚数单位i的运算及拓展

虚数i的乘方及其规律：i1i，i2＝－１，i3i，i41，i5i,i61,i7i,i81…i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1…（nN）

拓展（1）任何相邻四个数的和为０；

（2）指数成等差的四个数的和为０；

例如：i2n3i2n1i2n1i2n3＝０

（3）连续多个数相加的规律．

例6．求iii…i1011122006的值

解答：共有2006－10＋１＝１997项

由于1997＝4499＋1

由于连续4个的和等于0

因此原式＝i＝－1

2．有关复数的几个常用化简式

22 (1i)2i,(1i)2i，i，101i1i1ii,i

1i1i

例7（2005高考重庆2）．(1i)2005

（

）

1i

A．i

B．－i

C．21i2005

D．－22005

解答：

(1i)2005i2005(i4)501ii

故答案选A

3．有关复数的综合运算

例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程|z|2(zz)i3i（i为虚数单位）

2i

解法一．设zabi(a,bR)，则zabi

由于|z|2(zz)ia2b22ai

3i(3i)(2i)＝＝1i

22122i所以ab2ai＝1i

22a2b21

根据复数的相等得

2a1

解得a13

,b2213即为所求．

22

因此，z

解题评注：（1）设复数的代数形式（zabi(a,bR)）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（abi＝cdiac,bd

(a,b,c,d）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切R实掌握；

三．高考命题趋势

从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．

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