1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用国家获奖教案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（1）

------------ 学

案

一、学习目标

1.理解分类变量的含义；会根据收集的数据列出2×2列联表，并会阅读三维柱形图和二维条形图，并粗略判断两个分类变量是否有关系；

2.理解假设检验思想，会利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系；

二、自主学习

预习课本P91～96，思考并完成以下问题

1．分类变量与列联表分别是如何定义的？

2．独立性检验的基本思想是怎样的？

3．独立性检验的常用方法有哪些？

1．与列联表相关的概念

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：

①列出的两个分类变量的频数表，

称为列联表．

②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0, 因此|ad－bc|越小，

关系越弱；

|ad－bc|越大，

关系越强．

2．等高条形图

等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，

常用等高条形图展示列表数据的频率特征．

3．独立性检验的基本思想

1 y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)公式：K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(

) (2)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系，

而独立性检验中K2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．(

) (3)独立性检验的方法就是反证法．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

2．与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是(

) A．列联表

C．残差图

答案：D 3．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足(

) 附表：

P(K2≥k0)

k0

A．k＞6．635 C．k＞7．879 答案：A 4．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b的值分别为________．

答案：52, 54 三、合作探究

探究1：等高条形图的应用

[典例1]为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

y1

a 2

b y2

21

25

46

总计

73 27 100

B．k＞5．024

D．k＞3．841 0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

B．散点图

D．等高条形图

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

2

组别

铅中毒病人

对照组

总计

阳性数

29

9

38

阴性数

7

28

35

总计

36 37 73 试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

[解]

等高条形图如图所示：

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．

由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．

归纳总结：在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例a，也a＋bc可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例．两个比例的值相差越大，X与Y有关c＋d系成立的可能性就越大．

[活学活用1] 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

解：作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

3

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

探究2：两个变量的独立性检验

[典例2]

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？

[解]

根据题目所给的数据得到如下列联表：

有兴趣

无兴趣

总计

根据列联表中数据由公式计算得随机变量K2的观测值

k＝－211×150×236×125－理科

138

98

236

文科

73

52

125

总计

211 150 361 2≈1．871×104．

－因为1．871×104<2．706，

所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”．

归纳总结：独立性检验的步骤

(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．

(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．

(3)利用公式K＝(4)作出判断．

如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

[活学活用2] 在对人们的休闲方式的一次调查中，

共调查了124人，

其中女性70人，

男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，

另外27人主要的休闲方式是运动；

男性中有21人主要的休闲方式是看电视，

另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

并估计，

以运动为主的休闲方式的人的比例；

(2)能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下，

认为性别与休闲方式有关系？

附表：

2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d计算随机变量K2的观测值k0．

4

P(K2≥k0)

k0

n(ad－bc)2K＝．

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)20．50

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 10．828 0．455

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

解：(1)由所给的数据得到列联表

休闲方式

性别

女

男

总计

所以以运动为主要的休闲方式的人的比例为15∶31．

(2)根据列联表中的数据计算得随机变量K2的观测值，

k＝－70×54×64×602看电视

43

21

64

运动

27

33

60

总计

70 54 124 ≈6．201，因为k>5．024，

所以在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为休闲方式与性别有关．

探究3：独立性检验的综合应用

[典例3]

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；

(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

[解]

(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果，

5

符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，

102根据等可能事件的概率得到P＝＝．

153(2)由已知数据得

成绩优秀

成绩不优秀

总计

根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值

k＝－6×34×20×202甲班

1

19

20

乙班

5

15

20

总计

6 34 40 ≈3．137，

由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

归纳总结：(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系．

(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．

[活学活用3] 某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A，B，C三类课的节数比例为3∶2∶1．

(1)为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B，C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)

新课堂模式

传统课堂模式

总计

请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．

(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．

参考临界值有：

P(K2≥k0)

k0

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 高效

60

40

100

非高效

30

50

80

总计

90 90 180 2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

6

参考公式：K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d．

解：(1)由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：

∵k＝－100×80×90×902＝9>6．635，

由临界值表P(K2≥6．635)≈0．010，

∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关．

(2)样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是4节和2节．

22从中任取两节有C26＝15种取法，其中至少有一节课为C模式课堂取法有C6－C4＝9种，

93∴至少有一节课为C模式课堂的概率为＝．

155四、自主小测

1．对于独立性检验，下列说法正确的是(

) A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关

2．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验(

) A．H0：男性喜欢参加体育活动

B．H0：女性不喜欢参加体育活动

C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关

D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关

3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：

男

女

由此表得到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

4．若两个分类变量X与Y的列联表为：

做不到“光盘”

45

30

能做到“光盘”

10 15

7

x1

x2

y1

10

40

y2

15 16 则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．

5．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

心脏搭桥手术

血管清障手术

合计

又发作过心脏病

39

29

68

未发作过心脏病

157

167

324

合计

196 196 392 试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．

参考答案

1解析：选B

由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2＞6．635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．

2解析：选D

独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．

3解析：选C

由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．

则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．

代入K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，得K的观测值k＝2－55×45×75×252≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．

所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．

4解析：由题意可得K2的观测值

k＝＋15＋40＋＋＋－＋2＋≈7．227，

∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．

答案：1% 5解析：根据列联表中的数据，可以求得K的观测值k＝2－68×324×196×1962≈1．779．

K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．

答案：1．779

不能

8