复习参考题优质课教案设计

能力深化提升

类型一

线性回归方程及其应用

【典例1】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2008 2010 2012 2014 2016 246 257 276 286 需求量(万吨) 236 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量. 【解题指南】正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性. 【解析】(1)由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图，通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份—2012 需求量—257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29 对预处理后的数据，容易算得=0，=3.2，

===6.5，=-

=3.2，

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

-257=(x-2 012)+=6.5(x-2 012)+3.2，

即=6.5(x-2012)+260.2.(*) (2)利用直线方程(*)，可预测2018年的粮食需求量为6.5×( 2018-2 012)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).

【方法总结】建立回归模型的一般步骤

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量. (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系). (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系.则选用线性回归方程=x+). (4)按一定规则估计回归方程中的参数. (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)，若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等. 【巩固训练】某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：

单价x(元) 日销售量y(台) 35 56 40 41 45 28 50 11 (1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程.(方程的斜率保留一位有效数字) (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

【解析】(1)散点图如图所示：

从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系. 因为=42.5，=34，所以==-=34-(-3)×42.5=161.5. 所以=161.5-3x. ≈-3，

(2)由题意，有P=(161.5-3x)(x-30)=-3x2+251.5x-4 845. 所以当x=≈42时，P有最大值. 即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润. 类型二

非线性回归方程及其应用

【典例2】一只红铃虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表：

温度x/℃

产卵数y/个

21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 和y=cx2+d两种形式进行探讨) 试建立y与x之间的回归方程.(要求分y=c1【解析】根据收集的数据，作散点图，如图.

从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1的附近，其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=ln y，则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=ln c1，b=ln c2)的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.

由上表中的数据可得到变换的样本数据表，如下表：

x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 可以求得线性回归直线方程为z=0.272x-3.843. 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=e0.272x-3.843.另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=cx2+d的附近，其中c，d为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，即令t=x2，然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的非线性回归方程.

下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图，如图：

t 441 529 625 729 841 1 024 1 225

y 7 11 21 24 66 115 325 从图中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=cx2+d来拟合x与y之间的关系，因此利用y=e0.272x-3.843来拟合效果较好. 【方法总结】解决非线性回归问题的方法步骤

(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y. (2)画散点图，通过观察散点图并与学习过的函数(幂函数、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题. (4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果. (5)写出非线性回归方程. 【巩固训练】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中=，=wi. 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程. (3)已知这种产品的年利率z与x，y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

【解析】(1)由散点图可以判断，y=c+d的回归方程类型. (2)令w=，先建立y关于w的线性回归方程.由于

适宜作为年销售量y关于年宣传费x

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，

因此y关于x的回归方程为=100.6+68. (3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值

=100.6+68=576.6，

年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12，

所以当==6.8，即x=46.24时，取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 类型三

回归分析

【典例3】一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如表：

零件数x/个

加工时间y/min 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 经分析加工时间y与零件个数x线性相关，并求得回归直线方程为=0.670x+55.133. (1)求出相关指数. (2)作出残差图. (3)进行残差分析. 【解题指南】作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；

(2)相关系数；(3)相关指数；(4)残差图中异常点样本点的带状分布区域的宽窄. 【解析】(1)利用所给回归直线方程求出下列数据. i

61.833 0.167 -30 95.333 68.533 3.467 -20 102.033 75.233 -0.233 -17 108.733 81.933 -0.933 -11 115.433 88.633 -3.633 -7 122.133 yi-i

yi-

i

yi-i

yi-

=55，=92. 所以R2=1--0.333 3 0.967 11 -0.733 16 -3.433 20 4.867 35 ≈0.983. (2)因为i=yi-i，利用上表中数据作出残差图，如图所示.

(3)由R2的值可以看出回归效果很好. 由残差图也可以观察到，第2，5，9，10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误. 【方法总结】回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型. 【巩固训练】在研究弹簧伸长长度y(cm)与拉力x(N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：

x/N y/cm 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8

若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为=0.18x+6.34，求R2，并结合残差说明拟合效果. 【解析】列表求值如下：

xi

yi

xiyi

yi-i

yi-

5 7.25 36.25 25 0.01 -2.24 10 8.12 81.2 100 -0.02 -1.37 15 8.95 134.25 225 -0.09 -0.54 20 9.90 198 400 -0.04 0.41 25 10.9 272.5 625 0.06 1.41 30 11.8 354 900 0.06 2.31 =17.5，≈9.49，(yi-)2=14.678 4. 所以R2=1-xiyi=1076.2，=2 275，(yi-i)2=0.017 4，≈0.998 81，回归模型拟合效果较好.由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高. 类型四

独立性检验

【典例4】在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？

数学优秀

数学非优秀

物理

228 143 化学

225 156 总分

267 99

注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人. 【解题指南】分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k的值.由观测值分析，得出结论. 【解析】(1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

总计

物理优秀

228 143 371 物理非优秀

132 737 869 总计

360 880 1 240 a=228，b=132，c=143，d=737，

a+b=360，c+d=880，a+c=371，

b+d=869，n=a+b+c+d=1 240，

代入公式K2=得的观测值k1=

≈

270.114 3>6.635. (2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

总计

化学优秀

225 156 381 化学非优秀

135 724 859 总计

360 880 1 240 a=225，b=135，c=156，d=724，

a+b=360，c+d=880，a+c=381，b+d=859，n=a+b+c+d=1 240.

代入公式，得的观测值k2=

≈240.611 2>6.635. (3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

总计

总分优秀

267 99 366 总分非优秀

93 781 874 总计

360 880 1 240 a=267，b=93，c=99，d=781，

a+b=360，c+d=880，a+c=366，b+d=874，n=a+b+c+d=1 240. 代入公式，得5>6.635. 的观测值k3=≈486.122 由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到K2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之. 【方法总结】

1.判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断.需要确定在所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论. 2.独立性检验的一般步骤：

(1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式计算K2的值.

(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断. 【巩固训练】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 (

) 表1

成绩

不及格

性别

男

女

总计

6 10 16 表2

视力

好

性别

男

女

总计

4 12 16 表3

智商

偏高

性别

男

女

总计

8 8 16 12 24 36 20 32 52 正常

总计

16 20 36 20 32 52 差

总计

14 22 36 20 32 52 及格

总计

表4

阅读量

丰富

性别

男

女

总计

14 2 16 6 30 36 20 32 52 不丰富

总计

A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量

注：K2=. 【解析】选D.A中，a=6，b=14，c=10，d=22，a+b=20，c+d=32，a+c=16，b+d=36，n=52，K2的观测值

k1==. B中，a=4，b=16，c=12，d=20，a+b=20，c+d=32，a+c=16，b+d=36，n=52，K2的观测值

k2==. C中，a=8，b=12，c=8，d=24，a+b=20，c+d=32，a+c=16，b+d=36，n=52，K2的观测值

k3==. D中，a=14，b=6，c=2，d=30，a+b=20，c+d=32，a+c=16，b+d=36，n=52，K2的观测值

k4==.

因为<<<，

所以与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 类型五

统计综合题

【典例5】某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时) (1)应收集多少位女生样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：K2=P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

【解题指南】(1)由分层抽样的特点可得.(2)由频率分布直方图的意义可得.(3)写出2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论. 【解析】(1)300×=90，

所以应收集90位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得：

1-2×(0.100+0.025)=0.75，

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)由(2)知，300名学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：

平均体育运动时间与性别列联表

每周平均体育运动时间不45 超过4个小时

每周平均体育运动时间超165 过4个小时

总计

结合列联表可算得

210 90 300 60 225 30 75 男生

女生

总计

K2的观测值k==≈4.762>3.841.

故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【方法总结】这类问题可以综合考查抽样方法、频率分布直方图、古典概率和独立性检验等知识，知识覆盖面较大，阅读量较大，但问题难度不大，要求稳求准.