二 综合法与分析法教学设计及教案分析

第2讲

不等式的证明

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b定理2：如果a、b为正数，则≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2a＋b＋c3定理3：如果a、b、c为正数，则≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

3a1＋a2＋…＋an定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则nn≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．

3．数学归纳法证明不等式的关键

使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．

对于任意的x、y∈R，求证|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3. 11

若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：2＋2≥8. abxyz

若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>. 1＋x1＋y1＋z11

若a>b>1，证明：a＋>b＋. ab

比较法证明不等式

[典例引领] 11x－＋x＋，M为不等式f(x)＜2的解集．

(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝22(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

比较法证明不等式的方法与步骤

(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．

(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．

[提醒]

(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．

(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．

[通关练习] 1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．

2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：ab≤(ab)baa＋b2. 用综合法、分析法证明不等式

[典例引领]

(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：

(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

(2)a＋b≤2.

分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．

[通关练习] 1111．设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy. xyxy2．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1. (1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；

111(2)证明：a＋b＋c≤＋＋. abc反证法证明不等式

[典例引领] 1

设0

(1)否定原结论；

(2)从假设出发，导出矛盾；

(3)证明原命题正确．

已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0. 放缩法证明不等式

[典例引领]

|a＋b||a||b|

若a，b∈R，求证：≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|

“放”和“缩”的常用技巧

在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．

常见的放缩变换有：

11111212(1)变换分式的分子和分母，如2<，2>，<，>.kk（k－1）kk（k＋1）kk＋k－1kk＋k＋1上面不等式中k∈N*，k>1；

(2)利用函数的单调性；

aa＋m(3)真分数性质“若00，则<”．

bb＋m[提醒]

在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．

1111

设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n用数学归纳法证明不等式

[典例引领]

证明贝努利不等式：

设x∈R，且x>－1，x≠0，n∈N，n>1，则(1＋x)n>1＋nx.

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：

(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．

(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．

这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．

证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．

证明不等式的常用方法与技巧

(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．

(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值

不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．

在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．