2.基本不等式教案教学设计导入整理

3.4.1基本不等式【学习目标】

abab2（第一课时）导学案

知识目标:掌握重要不等式和基本不等式，并对基本不等式进行简单应用。

能力目标:经历探究证明过程，感悟数形结合的数学思想。

素养目标:从直观图形，进行探究论证，培养逻辑推理和运算分析的素养。

【学习重点】基本不等式abab的推导及简单应用。

2【学习难点】理解“当且仅当ab时取等号”的意义。

【情境导学】

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。它是根据三国时吴国数学家赵爽的弦图设计的。其颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

【探究点一】重要不等式a2b22ab的证明

思考1：对于“情境导学”中的图形，我们把它抽象成平面图形。

如图一所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边为a、b，可得：

（1）正方形ABCD的边长为

，其面积为

。

（2）四个直角三角形的面积和为

。

（3）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可以得

到一个不等式，即_______________________。

图一

思考2：如图二，根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可以得到一个等式，即_____________________。

此时a、b大小关系怎样？

图二

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结论：

若a___,b___

，则

__________ ，当且仅当

时,等号成立。

思考3：如何证明不等式a2b22ab？

点拨：证明不等式即比较两个式子的大小，常用作差法。

【探究点二】基本不等式abab

2思考4：在重要不等式中，如果用a、b分别代替a,b（其中a0,b0），可得

_____。

（1）说明：

ab是正数a,b的算术平均数，

2ab是正数a,b的几何平均数，所以基本不等式又称为均值不等式。

（2）多角度理解基本不等式

①从平均数角度：两个________的________平均数不大于它们的__________ 平均数。

②从数列角度：两个________的________中项不大于它们的___________中项。

【探究点三】基本不等式abab的几何解释

2

C

如图三所示，AB是圆O直径，点C是圆O上一点，过C作垂直于AB的弦CE, 如果AD=a，DB=b，

A

O

D

B

（1）用a, b表示OC；

（2）用a, b表示CD。

E

图三

说明：基本不等式的几何意义是圆的____________不小于____________. 【对比分析，加深理解】填表比较

两个不等式

比较项目

a2b22ab

abab2

适用范围

“=”成立条件

【典例精析】

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若x0，当x取什么值，x

1的值最小？最小值是多少？

x【变式训练】

请判断下列表述的对错，并说明理由。

1.

若x0，则x

2.

如果x1，那么由x

1112x2，当且仅当x,即x1时“=”成立。

xxx1112x2可得x的最小值是2。

xxx【当堂检测】

若aR,bR,ab0，则下列结论恒成立的是（

）

112baA. a2b22ab

B. ab2ab

C. 

D. 2

ababab

【课堂小结】

一．2个公式

二．使用基本不等式时需要注意的地方

三．代数、几何多种方法证明基本不等式

四．数学思想

【课后作业】

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（一）必做部分。

1.若任意正实数

a,b,c，求证：abcabacbc（当且仅当abc时取等号）。

2.设函数fx2x1。

1x0，则fx（

）x11。

的最小值等于（

）abA.有最大值

B.有最小值

C.是增函数

D. 是减函数

3. 设a,bR，若ab2,则A.1

B.3

C.2

D. 4

4. 预习课本99页，完成课后练习3、4。

（二）选做部分。

(1)若a0,b0，求证：ab211ab。

(2)对(1)中证明的不等式进行几何解释。

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