复习参考题教学设计第二课时

计数原理复习教学设计

绵竹市南轩中学

陈婷

一、教学目标

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题

2.理解排列的意义、掌握排列数公式，并能用它们解决一些简单的应用问题

4.理解组合的意义,掌握组合数公式和组合数性质,并能用它们解决

一些简单的应用问题

5.掌握二项式定理和二项展开式的性质

6.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题

二、课型：复习课

三、教学方法：点拨法、练习法

四、教具：PPT 五、课时安排：两节

六、教学过程：

（一）计数原理知识要点回顾：

1.分类计数原理与分步计数原理的概念

(1)分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有

m

1

种不同的方法,在第2类办法中有

m

2

种不同的方法,……,在第n类办法中有

m

n

种不同的方法.那么完成这件事共有

N= m

1

+ m

2

+…+

m

n

种不同的方法. (2)分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有

m

1

种不同的方法,做第2步有

2

mm种不同的方法,.,做第n步有

m

n

种不同的方法.那么完成这件事共有N= m

1

×

m

2

×…×

n

种不同的方法.

2.分类计数原理与分步计数原理的区别

两个计数原理的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的事件则用分步计数原理，步与步之间的方法具有相依性和连续性，每个步骤的方法都不能独立完成事件，只有把所有步骤连续完成，才完成了这个事件。

3.两个计数原理的选择

如果完成一件事是分类完成,则选用分类计数原理；

如果完成一件事是分步完成,则选用分步计数原理。

4.利用计数原理解决实际问题的算法步骤

第一步:分析要完成一件什么事;

第二步:分析完成这件事的过程,看看其过程是分类还是分步,选择对应计数原理表示计数过程；

第三步：计算得出结论。

5.比较复杂的问题，常先分类再分步。

（二）排列知识要点回顾：

1.排列定义:从n个不同的元索中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数:

A

m

表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数.展开公式为:

n

n!m=n(n-1)(n-2) …(n-m+1)= Annm!3.全排列与阶乘

n(l) A

nnn1n221n!(2)规定0!=1. 4.排列应用问题的分类

(1)按排列问题中的元素是否受限制:分为自由排列和受限排列.

(2)按所取元素多少:分为全排列和选排列.

(3)按元素是否重复:分为重复排列和不重复接列等

（三）组合知识要点回顾：

1.组合定义:从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素(并成一组),叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

m2.组合数,

Cn

表示从n个不同元素中取出m(m ≤

n)个元素所有组合的个数，展开公nn1n2nm1n!式为: C==

m!m!nm!mn3.组合数的性质:

mnm0Cn1

（1）CnCnmmm1(2)Cn

1CnCn4.组合有三种最基本的应用模型:

(1)分步组合:利用分步乘法原理求解的基本组合应用题类型.

(2)分类组合:利用分类加法原理求解的基本组合应用题类观.

(3)分组组合:包括平均分组和非平均分组两种基本类型.

（四）二项式定理知识要点回顾：

1. 二项式定理：

n0n1n12n22rnrrnn

abCnaCnabCnabCnabCnb(nN)2.项数：二项式ab展开式中共有n+1项

3.通项公式：Tr1Cnar4.二项式系数Cn

012n5. 二项式系数和CnCnCnCn2n

024135特别的CnCnCnCnCnCn2n1

nrnrrbr0,1,2,...,n（表示r+1项）

例题讲解：

（一）排队问题中两大计数原理的应用

例1、有5个同学排队照相，求满足下列条件的排法有多少种？

（1）甲、乙必须相邻；

（2）甲、乙、丙互不相邻；

（3）乙不能站甲左边，丙不能站乙左边；

（4）甲不站中间，乙不站两端。

练习

1、三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有出场方案的种数为(

)

（二）数字问题中两大原理的应用

例2、(1)由数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字的正整数? (2)由数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复,并比500000大的正装数？

练习

用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数,问:

(1)能够组成多少个六位奇数?

(2)能够组成多少个大于201 345的正整数?

(三)几何问题、染色问题中两大原理的应用

例3、(1)平面内有n条直线,其中没有两条平行,也没有三条交于一点,其有多少个交点？

(2)空间有n个平面,其中没有两个互相平行,也没有三个交于一条直线,一共有多少条交线？

练习

(1)平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条.这两组平行线相交,可以构成多少个平行四边形?

(2)空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个,第三组有l个. 不同两组的平面都相交,且交线不都平行,可构成多少个平行六面体?

（四）分组问题中两大原理的应用

例4、现有5个球和3个盒子，把球全部放入盒子里去。分别求下列有多少种放法。

（1）球相同，盒子不同，且盒子不空；

（2）球相同，盒子不同，且盒子可以空；

（3）球不同，盒子相同，且盒子不能空；

（4）球不同，盒子相同，且盒子可以空；

（5）球不同，盒子不同，且盒子不能空；

（6）球不同，盒子不同，且盒子可以空。

练习

1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法。

（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（2）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

（3）分给五个人，每人至少一本；

（4）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。

2、将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴三所不同的学校服务，不同的分配方案（

）种。

3、将5个名额分到三个年级，每个年级至少1个名额，不同的分配方案（

）种。

（五）二项式定理的应用

例5、（1）在1x1x1x34n2

的展开式中,含

x

项的系数是多少?

21n12n2n1（2）若n为奇

7nCn7Cn7Cn7

被9除得的余数是（

）

练习

(1)求

12x13x

展开式中按

x

的升幂排列的第3项；

541(2)求

9x

展开式的常数项。

3x

七、小结

1.两大计数原理

2.排列数、组合数

3.排列组合问题的方法

①列举法②找标准③特殊法（特殊元素与特殊位置）④相邻捆绑不相邻插空⑤正难则反⑥定序问题用除法⑦分排问题用除法⑧混合问题先选后排、先分堆后排列⑨相同元素插板法⑩化归策略

4.活用二项式定理

八、作业（自我检测题题单）

九、课后反思

本课为复习课，教学过程基本按照计划进行，学生活动也比较活跃。但是课堂容量有点偏大，对学生的基础学情准备不足。

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