1.3 二项式定理（通用）ppt课件课堂实录

二项式定理——特定项的求法

高考命题趋势

二项式定理是高考的热点之一，每年一道题，常以选择、填空形式出现，利用通项公式求展开式的特定项或某一项的系数较多，少有综合性的大题。高考命题的新动向则是利用二项式定理求多项式的系数或二项式的系数和，整除问题，近似计算与证明。

高考要求

（一）二项式定理的掌握与应用

以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题。

（二）二项展开式的性质的掌握与应用

二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和。

教学目标

（一）知识与技能

1、理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式

2、会运用展开式的通项公式求展开式的特定项

（二）过程与方法

在教学中教给学生怎样理解记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质；在解题时树立由一般到特殊的解决问题的意识。

（三）情感、态度、价值观

通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。

教学重点

运用展开式的通项公式求展开式的特定项

教学难点

转化思想的培养

教学方法

探究式、启发式、讲练结合

学法指导

在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。

教学过程

（一）知识点归纳

1、二项式定理

n1n－11n－kkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)。

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项kn－kk展开式，其中的系数Ckb叫做n(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cna二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项；Tk＋1＝Cna2、二项展开式形式上的特点

（1）项数为n＋1。

kn－kkb。

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n。

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n。

1n－1n（4）二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn。

3、二项式系数的性质

n－m（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cm

n＝Cn。（2）最大值：当n是偶数时，中间的一项C当n是奇数时，中间两项C（3）各二项式系数的和

n12nn2n取得最大值。

和Cn12n相等，且同时取得最大值。

12k(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cnn＋…＋Cnn＝2。

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，35024n－1即C1。

n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝24、二项式系数与展开式项的系数的异同

n－kk在Tk＋1＝Ckb中，Cknan就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而

Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数。

1

（二）题型与方法

题型一：二项展开式的特定项问题

常用通项公式，用待定系数法，设第r+1项满足条件，整理后的指数满足条件或为有理数或为0，列出关于r的方程，求出r，代入通项公式即得。

例1

：若(3x（

）。

(A)-540

(B) -162

(C)162

(D)540 分析：已知展开式中的各项和，用赋值法求出n，再用通项公式和待定系数法求出常数项。

解析：令x=1的各项系数和为(3-1)n =64,n=6，设第r+1项为常数项，则

rTr1C6(3x)6r(1x则展开式的常数项为)n的展开式中各项系数之和为64，1xr3r)r(1)r36rC6x

由题知

3-r=0

∴r=3 ∴第4项为常数项，即T4540故选A。

练习1：(2012·陕西)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________。

5－rr解析：(a＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crx。

5a33当r＝2时，由题意知C25a＝10，∴a＝1，∴a＝1。

点评：求二项展开式的某一项、有理项、常数项是高考考察的重点，常用待定系数法，用通项公式求解。

题型二：求最大系数或系数最大的项

3例2：已知(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。

（1）求该展开式中的二项式系数最大的项。

（2）求该展开式中的系数最大的项。

分析：可先根据条件列方程求n，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项。

解析：令x＝1，得各项的系数之和为(1＋3)n＝4n

12nn二项式系数之和为C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2

2

根据题意，4n＝2n＋992，得2n＝32或2n＝－31(舍去)，所以n＝5。

（1）二项式系数最大的项为第3项和第4项，

22T3＝C(x)(3x)＝90x，T4＝C(x)(3x)＝270x。

3253232263532223rrr＋1r＋1C5·3≥C5·3，（2）设第r＋1项系数最大，则rrr－1r－1C5·3≥C5·3，

135－r≥r＋1，即31≥r6－r，

79解得≤r≤。

22又r∈N，得r＝4，所以系数最大的项为T5＝405x26. 3小结：展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别．第(2)小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式。

练习2：(2013·新课标全国卷I)设m为正整数，xy展开式的二项式系数2m的最大值为a，xy为（B）

2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 题型三：多个二项式乘积展开式的特定项问题

先把其中次数较低的二项式展开，再分析这个展开式取各项时，要得到所求项，另一个二项式展开式取项情况，再分类讨论求之。

a1例3：(2011·课标全国)(x＋x)(2x－x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

)。

A．－40

B．－20

C．20

D．40 解析：令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1。

1111因此(x＋)(2x－)5展开式中的常数项即为(2x－)5展开式中的系数与xxxxx的系数的和。

3

15r5－rr－rr5－r5－2rr(2x－)展开式的通项为Tr＋1＝C5(2x)·(－1)·x＝C52x·(－1)。

x令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，

15－2因此(2x－)5展开式中x的系数为C2(－1)2＝80。

52x令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，

5－3因此(2x－)展开式中的系数为C3·(－1)3＝－40。

52151xx所以(x＋)(2x－)5展开式中的常数项为80－40＝40。

11xx练习3：(2012·安徽)(x2＋2)(A．－3

解析：二项式(

11)5的展开式的常数项是

2x(

) B．－2

C．2

D．3 151)展开式的通项为：

2xTr＋1＝Cr5(15r2r－10)·(－1)r＝Cr·(－1)r。

5·x2x－24当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C4·(－1)4＝C45x5×(－1)＝5；

05当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x·(－1)＝－2。

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D。

点评：求多个二项式乘积展开式的特定项问题是高考考察的又一个重点，同学们应掌握这类问题的解法。

课时小结

本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项，对于二项展开式运用通项公式。对于多个二项式乘积展开式的特定项问题要注意分类讨论解决；遇到n不确定的首先确定n。

课后作业

1x1、在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的42xn有理项。（有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项）

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决。

4

解：二项式的展开式的通项公式为：

Tr1nr1r1Cr(x)Cxnn4r22xr2n3r4

前三项的r0,1,2.

得系数为：t11,t2C1n由已知：2t2t1t3∴n8

通项公式为

1Tr1Crx2r8163r41111n,t3C2n(n1)，

n22481n1n(n1)，

8r0,1,28,Tr1为有理项，故163r是4的倍数，

∴r0,4,8.

4依次得到有理项为T1x4,T5C813512812xx,TCxx。

988248225622、(2011·广东)x(x)7的展开式中，x4的系数是___84___。（用数字作答）

x板书设计 二项式定理——特定项的求法

一、知识点归纳

（一）二项式定理

（二）二项展开式形式上的特点

（三）二项式系数的性质

二、题型与方法

题型一：二项展开式的特定项问题

题型二：求最大系数或系数最大的项

题型三：多个二项式乘积展开式的特定（四）二项式系数与展开式项的系项问题

数的异同

课后反思

课时小结

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