复习参考题教案公开课一等奖

第三章统计案例小结与复习

一、教学目标：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。

二、教学重难点：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、知识归纳与梳理

1、线性回归：

(1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。

(2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。

(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。

nxiyinxybi1n1n2，

x(4)回归直线方程：ybxa，其中xi。相应的直线叫2xinxni1i1aybx回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。

(5)相关系数：rxyii1ni1ninxyn

2(xi21nx)2(yi2ny)i1相关系数的性质：（1）|r|≤1。（2）|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。

2、独立性检验

①22列联表：列出的两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}的样本频数表称为22列联表1

分类

y1 y2 总计

x1 x2 a

b

ab

cd

abcd

d

c

总计ac

bd

[来源学§科§网Z§X§X§K]

1

nadbc

构造随机变量2（其中nabcd）

abcdacbd得到2常与以下几个临界值加以比较：

如果

如果

如果

222.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；

23.841

就有9500的把握因为两分类变量X和Y是有关系；

26.635

就有9900的把握因为两分类变量X和Y是有关系；

如果22.706，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系．

（二）、典例探析

例1、一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间由如下一组数据：

x y 1.08 2.25 1.12 2.37 1.19 2.40 1.28 2.55 1.36 2.64 1.48 2.75 1.59 2.92 1.68 3.03 1.80

3.14 1.87 3.26 1.98 3.36 2.07[来源:Z_xx_k.Com]

3.50 1）画出散点图；2）检验相关系数r的显著性水平；3）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程. 解：

i xi yi xiyi

1 1.08 2.25 2.43 2 1.12 2.37 2.264 3 1.19 2.40 2.856 4 1.28 2.55 3.264 5 1.36 2.64 3.590 6 7 8 1.68 3.03 5.090 9 1.80 3.14 5.652 10 1.87 3.26 6.096 11 1.98 3.36 6.653 12 2.07 3.50 7.245 1.48 1.59 2.75 2.92 4.07 4.643 77718.534.1722x=，y==2.8475，xi=29.808，yi=99.2081，xiyi=54.243 1212i1i1i11）画出散点图：

y3.532.521.511.21.41.61.822.2x

2

2）r=12i1xyii112i12xy

12i1(xi212x2)(yi212y2)54.24312=18.534.17121218.5234.172(29.80812())(99.208112())12120.997891

在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r0

05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间存在线性相关关系. ˆbxa，3）设回归直线方程y[来源学科网]

12xiyi12xyi1b12利用22,计算a，b，得b≈1.215, a=ybx≈0.974，

x12xii1aybxˆ1.215x0.974

∴回归直线方程为：yy3.532.521.511.21.41.61.822.2x

例2、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。（1）根据以上数据建立一个2× 2列联表；

（2）判断性别与休闲方式是否有关系。

解：（1）2× 2的列联表：

休闲方式

看电视

运动

总计

3

性别

女

男

总计

（2）假设“休闲方式与性别无关”

43 21 64 27 33 60 70 54 124 124(43332721)26.201

705464602因为25.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”。

例3．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

表3一12 性别与喜欢数学课程列联表

男

女

2由表中数据计算得K的观测值k4.514．能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜喜欢数学课程

不喜欢数学课程

总计

37

35

85

143

228 122 178 300 总计

72 欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．

解：可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：

分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例ac与女生中喜欢数学课的人数比例应该相差很多，即

cdab|acadbc|||

应很大．

abcd(ab)(cd)(abcd)(ab)(cd)(ac)(bd), 将上式等号右边的式子乘以常数因子

n(adbc)2然后平方得

K, (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd．因此K越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．

另一方面，在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件A ={K≥3. 841｝22

4

的概率为P (K≥3. 841) ≈0.05,

因此事件

A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得K的观测值k=4.514，即小概率事件

A发生．因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5 %．所以，约有95 ％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.

（三）、课堂小结：

会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。

五、课堂练习

1.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(

) A. x和y的相关系数为直线l的斜率

B. x和y的相关系数在0到1之间

C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

--D. 直线l过点(x，y) 答案：D --解析：回归直线过样本中心点(x，y)．

2.在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．

如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是(

) A. ①②⑤③④

B. ③②④⑤①

C. ②④③①⑤

D. ②⑤④③①

答案：D 解析：对两个变量进行线性回归分析的步骤是：收集数据，绘制散点图，求相关系数，通过这三个步骤确定两个变量是不是具有线性相关关系，不然回归直线方程也没有什么价值，在此基础上求出回归直线方程，对所求出的回归直线方程进行解释．故正确的步骤是②⑤④③①.故选D. 3. 对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(

) 22

5

A. 变量x与y正相关，u与v正相关

B. 变量x与y正相关，u与v负相关

C. 变量x与y负相关，u与v正相关

D. 变量x与y负相关，u与v负相关

答案：C 解析：夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．显然选C. 4.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(

) A. 有99%的人认为该栏目优秀[来源学科网]

[来源学&科&网Z&X&X&K]B. 有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系

C. 有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系

D. 没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

答案：D 解析：只有K2>6.635才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使K2>6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故选D. 5．下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果，若要使结论的可靠性不低于95%，根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论？

男生

女生

合计

喝过酒

77 16 93 没喝过酒

404 122 526 合计

481 138 619 解：提出假设H0：该周内中学生是否喝过酒与性别无关．

由列联表中的数据，求得

221.6366，

2当H0成立时，3.841的概率约为0.05，而这里1.63663.841，

6

所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论．

7