探究与发现 子集的个数有多少课件配套优秀教案设计

人教A版

选修2-3 第一章

计数原理 1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

探究与发现——子集的个数有多少

【教学内容分析】

该部分内容位于选修2-3 第一章

计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理之后，由此可见它是一个关于计数的问题，需要用到两个计数原理去研究它。子集的个数有多少？其实这个问题在学生进入高一第一周学习《集合》的时候都已经告诉给了学生答案，而且还多次应用该结论，但是由于当时学生的知识储备不够，所以没有探究该结论的原因。随着学生知识储备的增加，尤其是现在学生学习了“推理与证明”以及“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”，便可以应用所学知识来探究“子集的个数有多少”的原因以及证明它的正确性。

【教学重难点】

1、重点：理解用分步乘法计数原理得到n元集合不同子集的个数为2n个的过程. 2、难点：将n元集合的子集分成含有某个特定元素和不含有某个特定元素两种类型，并找到两种类型的子集个数相等的关系，然后应用分类加法计数原理得到子集的个数. 【教学目标】

1、知识目标

①能够应用分步乘法计数原理计数n元集合子集的个数; ②能够用数学归纳法证明n元集合子集的个数为2n个；

③理解用分类计数原理讨论n元集合的子集分为含有某个特定元素和不含有某个特定元素类型. 2、能力目标

培养学生自学的能力、合作讨论的能力、表达能力.

【教学方法】

以问题探究式为主，引导学生独立思考问题和小组合作探究问题. 【教学过程】

一、

复习引入

问题1：你学会了哪两个计数原理？

生（一起回答）：分类加法计数原理，分步乘法计数原理. 问题2：子集的定义是什么？

生（抽一个学生回答）：（略）

问题3：n元集合子集的个数有多少？

生（一起回答）：2n个. 二、

探究新知

活动1：学生自学课本11——12页的内容，总结是如何得到并证明“n元集合子集的个数为2n个”. 活动2：自学完成之后，请一位同学在讲台上来当小老师，根据自己对课本上这部分的理解带领学生一起学习课本上得到并证明该结论的过程. 问题4：子集个数2n是一个指数幂的式子，也就是说随着元素个数的增加，子集的个数是成倍的增长，但无论一个非空集合有多少个子集，始终有两个子集比较特殊，你认为是哪两个呢？

生（一起回答）：空集和原集合自身. 问题5：通过对子集个数的探究，你是否对把空集及原集合自身作为子集的规定有进一步的理解呢？

生（抽一个学生回答）：（略）

三、

课堂思考

你还能用另外的方法证明上述结论吗？

活动3：小组讨论还能用什么方法证明该结论. （老师提示：这是一个与自然数集有关的结论.目的是让学生想到数学归纳法.）

活动4：请一个小组的代表来说一说他们小组讨论的结果. （一般情况，在老师提示的引导下，学生都能想到数学归纳法.）

问题6：（如果学生用的是数学归纳法证明）在证明n=k+1成立的过程中，为什么需要把子集分成不含有元素ak+1和不含有元素ak+1两种类型？

生（活动4的学生回答）：因为这样才能够利用“假设n=k成立”的结论. 然后由老师对该证明方法进行总结，并强调证明n=k+1成立的方法与过程.

问题7：其他小组还有其他的方法吗？

老师提示：在刚才用数学归纳法证明的过程中，把子集分成不含有元素ak+1和不含有元素ak+1两种类型，这体现了那种计数原理？n=k+1时的子集个数与n=k的子集个数有什么关系？（2倍关系）这实际上就体现了数列的一个递推关系. 活动5：请同学们用分类计数原理以及数列的递推关系再来证明该结论，在草稿纸上完成你们的证明过程.如果有困难，相互可以交流讨论. 活动6：将一位同学在草稿纸上的证明过程用实物展示台展示给大家，并请这位同学给大家讲解他的解题思路. 然后由老师对该证明方法进行总结. 四、

课堂小结

问题8：这节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的个数为2n个”？

生（一起回答）：分步乘法计数原理、分类加法计数原理、数学归纳法. 老师总结：这三种方法各有特色，但我要强调一点数学归纳法只能用来证明结论，而另外两种方法不仅可以用来证明结论，还可以用来直接得到结论. 师：以前我们不能解决的问题，随着知识储备的增加，现在可以用这么多方法来解决它，可见知识储备的重要性，知识越多方法就越多.所以你们平时一定要注意知识的积累. 问题9：本节课我们用到了哪些计数方法？

生（一起回答）：分类加法计数原理，分步乘法计数原理. （学生往往会忽略掉“列举法”）

老师总结：列举法虽然是很笨的一种方法，但它是计数的基本方法，尤其是在个数比较少的情况下，列举法是非常实用的，所以不要忘忽略列举法. 五、

课后思考

1、你还能想到另外的方法证明“n元集合子集的个数为2n个”吗？请在以后的学习过程中，结合新学的知识，继续思考该问题.

2、设集合A={1,2,3,4,5}，

(1)、从集合A中任意选两个数，可以组成多少个没有重复数字的两位数？

(2)、

从集合A中任意选两个数，可以组成多少个集合A的二元子集？

(3)、(1)(2)两小问的结果相同吗？

(4)、(1)(2)两小问有什么区别呢？

【课后反思】

本堂课是一堂探究课，目的是用刚学的两个计数原理探究“n元集合子集的个数”.学生比较容易理解课本上的内容，分步乘法计数原理应该是一种探究

“n元集合子集的个数”最为简单的方法.但难点是引导学生自主思考探究

“n元集合子集的个数为2n个”的其它证明方法，这里必须要给学生提示，在老师提示引导的情况下一些学生还是能够想到数学归纳法.在数学归纳法的证明过程中，必须要强调把n=k+1时的子集分成不含有元素ak+1和不含有元素ak+1两种类型，只有加以强调才能使更多的同学想到分类加法计数原理，并能够该方法去证明结论. 整体来说，由于课堂内容不是太紧张，而且探究课以学生自主解决问题为主，整堂课氛围比较轻松.但是这也使极少数不爱思考问题的同学悄悄的偷懒，在小组讨论的时候，存在个别同学是看热闹的态度，并没有积极参与进来，所以建议以后在上这种以学生自主探究为主的课时，老师应该在小组讨论时尽可能多的参与到一些小组的讨论中，这样不仅可以听取他们的想法，也可以给他们一些建议与帮助，更能激发小组各个成员讨论的激情.