2.3.1 圆的标准方程教学设计(教案)

圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半

径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r

①

化简可得：(xa)2(yb)2r2

②

64A2M-55-2-4

引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

训练题1,2,3 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

例（1）：

ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

法（一）

师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

法（二）

师生共同分析：

确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小，圆心为C的圆经过点A(5,1),B(7,3),C(2,8),由于三角形外接圆的圆心是三角形垂直平分线的交点。所以，可以求出AB的垂直平分方程，要求AB的垂直平分线方程，先算AB的斜率，垂直平分线的斜率和AB的斜率相称等于—1，再算AB的中点D的坐标，这样根据点斜式方程可以求出垂直平分的方程。同理，可以算出CB的垂直平分线方程，所以圆心M在线段AB的垂直平分线m上，又圆心M在直线CB的垂直平分线L上，因此圆心M是直线l与直线m的交点，半径长等于AM。

（教师点评学生的解题过程。）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（1）的两种解法，可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

（1）

根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. （2）根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本第2、3、4题

提炼小结：

1、

圆的标准方程。

2、

点与圆的位置关系的判断方法。

3、

根据已知条件求圆的标准方程的方法。