1.3 二项式定理（通用）教学设计模板

_1.3二项式定理

1．3.1

二项式定理

[导入新知] 二项式定理及其相关概念

二项式定理

二项式系数

通项

二项式定理的特例

[化解疑难] 1．二项展开式的特点

(1)展开式共有n＋1项．

(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 2．二项展开式的通项公式的特点

(1)它表示(a＋b)n的展开式的第k＋1项，该项的二项式系数为Ckn. (2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同．

(3)a和b的次数之和为n.

二项式定理的正用、逆用

[例1]

(1)求(x＋2y)4的展开式．

n1n1n2nk(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n. －－－n1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cn称为na＋Cnananb，－－二项式定理

Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb

na－kkn(1＋x)n＝1＋C1nx＋…＋Cnx＋…＋x

413222344322[解]

(1)(x＋2y)4＝C0(2y)3＋C44x＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4x·4(2y)＝x＋8xy＋24xy＋32xy3＋16y4. n1n1n2nk(2)原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ck(－1)k＋…n(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)－－－nnn＋Cnn(－1)＝[(x＋1)＋(－1)]＝x. 小结：

1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

[活学活用] 32x－24的展开式．

1．求2x33341322－323＋C42x－24＝C0－2＋C4－22＋C3解：法一：(2x)＋C(2x)·(2x)(2x)44442x2x2x2x2781－324＝16x4－48x＋54. 2－5＋2xxx16x834x－341342x－24＝法二：＝8(4x－3)

22x2x16x＝103413323233444(－3)2＋C38[C4(4x)＋C4(4x)(－3)＋C4(4x)·4(4x)(－3)＋C4(－3)]＝16x－48x＋16x3542781－＋. x2x516x82．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

5142332455解：原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5－C5＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

求二项展开式中的特定项

31[例2]

(1)在2x－20的展开式中，系数是有理数的项共有(

) 2A．4项

C．6项

B．5项

D．7项

x－15(2)二项式3的展开式中常数项为A，则A＝________. x1k320－k－[解析]

(1)Tk＋1＝Ck(2x)

202＝－2k320－kk20－k·(2)C20·x. 2因为系数为有理数，所以－20－k2k与2均为有理数，

32所以k能被2整除，且20－k能被3整除．

故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，

所以k＝2,8,14,20. (2)Tk＋1＝Ck5(x)5－k－1k3

x

5kk5＝Ck5(－1)x－，

2655k令－＝0，得k＝3，所以A＝－C35＝－10. 26[答案]

(1)A

(2)－10 [类题通法] nkk1．在通项公式Tk＋1＝Ckb(n∈N*，k＝0,1,2,3，…，n)中含有a，b，n，k，Tk＋1 5个na－量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．

2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．

[活学活用] 33n的展开式中，第6项为常数项．

x－已知在3x(1)求n；

(2)求展开式中所有的有理项．