二 综合法与分析法课堂实录【2】

＆2.2.1 综合法和分析法（教案）

1.

教材分析

证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。

2. 教学目标

一．知识与技能目标

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．

（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点．

二．过程与方法目标

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．三．情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

3. 教学重点/难点

教学重点：综合法和分析法的思维过程及特点。

教学难点：综合法和分析法的应用。

4. 学情分析

学生在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，帮助学生对证明数学问题的方法形成较完整的认识。

5. 教学过程

一、复习引入

回顾基本不等式： 法一:

(ab)20因为;

a+b2ab(a>0,b>0)的证明过程：

法二：

要证;

a+b2aba+b2ab0只需证; a+b2ab只需证; a+b2ab0只需证; (ab)20所以

a+b2ab所以

a+b2所以 ab成立

因为; (ab)20a+b所以 ab2成立

二、探索新知

成立

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1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫由因导果法或顺推证法.

特点:“执因索果”

推理过程：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:

2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法又叫执果索因法或叫逆推证法

特点：执果索因.

推理过程：

二、例题分析

例1：已知a>0,b>0,求证a(b+c)+b(c+a)≥4abc

证明：因为 b+c

≥2bc,a>0 所以 a(b+c)≥2abc. 又因为 c+b≥2bc,b>0 所以 b(c+a)≥ 2abc. 因此 a(b+c)+b(c+a)≥4abc. 例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．

证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，

因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180

所以B=60

由a,b,c成等比数列，有b=ac, 则b=a+c-2accosB=a+c-ac,

222222oo，22222222 22222222

化简得：a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c，从而有A=C A=B=C=60。

所以三角形ABC是等边三角形。

【学生练习】1、在△ABC中，已知cosAcosA＞sinAsinB,则△ABC的形状一定是 钝角三角形 2、下面的四个不等式：①a+b+3≥ab+3（a+b）；②a(1-a)≤22o1ba22；③≥2；④（a+b）4ab(c2+d2)≥（ac+bd）2.其中恒成立的有 ①②④

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评注：用综合法证明不等式时常用的结论：

ab2a2b2)（1）ab(（a,bR）

22(2) ab2ab(a0,b0)

例3:设a,b为实数，求证：ab222(ab)

2 证明：当a+b≤0时，∵a2b2≥0 ∴ ab222(ab)成立。

2 当a+b＞0时，用分析法证明如下：

要证ab222(ab)，

22(ab)]2

2只需证(ab)[即证ab222222212(ab22ab)。

2即证ab≥2ab ∵ab≥2ab对一切实数恒成立

所以ab22222(ab)成立。

2综上所述，不等式成立

【学生练习】

已知a＞0，三、归纳小结

1、综合法处理问题的三个步骤：分析条件，选择方向→转化条件，组织过程→适当调整，回顾反思。

2、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法。

3、综合法优点：条理清晰，易于表述

证明格式：因为……/由……可知

所以……

所以……

综上所述，原命题成立

111＞1，求证：1a

ba1b

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4、分析法优点：解题方向比较明确，利于寻找解题思路

证明格式：要证……

只需证……

只需证……

即证……

因为……恒成立

所以原命题成立

四、课后作业

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