2.基本不等式多媒体教案及点评

第三节基本不等式

1．基本不等式ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；

aba＋b2a＋b2a＋b(3)ab≤(a，b∈R)；(4)22≤2(a，b∈R)；

a＋b2ab(5)≤ab≤≤

2a＋ba2＋b2(a＞0，b＞0)．

2223．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．

注：1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.

2连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.

[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a≥0，b≥0时，a＋b≥ab.(

) 2a＋b≥ab成立的条件是相同的．(

) 2(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与xy(3)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件．(

) (4)函数f(x)＝cos x＋π40，的最小值等于4.(

) ，x∈2cos x答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

二、选填题

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A．80

C．81

答案：C 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(

) A．a＜b＜ab＜C．a＜ab＜b＜a＋b

2a＋b

2B．a＜ab＜D.ab＜a＜a＋b＜b

2B．77 D．82 a＋b＜b

2a＋bb－a＝22解析：选B

因为0＜a＜b，所以a－ab＝a(a－b)＜0，故a＜ab；b－＞0，故b＞a＋ba＋ba＋b；由基本不等式知＞ab，综上所述，a＜ab＜＜b，故选B. 22213．函数f(x)＝x＋的值域为(

) xA．[－2,2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

1解析：选C

当x＞0时，x＋x≥2 当x＜0时，－x＞0. 1－x＋≥2 －x1所以x＋≤－2. x1所以f(x)＝x＋x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

答案：22 5．若x＞1，则x＋解析：x＋4的最小值为________．

x－11－x·＝2. －xB．[2，＋∞) D．R 1x·x＝2. 44＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14，即x＝3时等号成立．

x－1当且仅当x－1＝答案：5

考点一

利用基本不等式求最值[全析考法过关]

(一)

拼凑法——利用基本不等式求最值

[例1]

(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

51(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

44x－5x2＋2(3)函数y＝(x＞1)的最小值为________．

x－1113x＋4－3x242[解析]

(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝333232时，取等号．故所求x的值为. 35(2)因为x＜，所以5－4x＞0，

4则f(x)＝4x－2＋＝1时，取等号．

故f(x)＝4x－2＋1的最大值为1. 4x－5111＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x4x－55－4xx2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3(3)y＝＝

x－1x－1x－12＋2x－1＋3＝

x－1＝(x－1)＋3＋2≥23＋2. x－13，即x＝3＋1时，取等号．

x－1当且仅当x－1＝2[答案]

(1)

(2)1

(3)23＋2 3[解题技法]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

(二)

常数代换法——利用基本不等式求最值

11[例2]

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

[解析]

因为a＋b＝1，

1111b＋a≥2＋2 ＋所以a＋b＝(a＋b)＝2＋abab号．

ba1·＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等ab2

[答案]

4 [变式发散]

111．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．

ab12解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1. 33111112＋a＋b

所以＋＝abab3312a2b＝＋＋＋≥1＋2 333b3aa2b·

3b3a22＝1＋.当且仅当a＝2b时，取等号．

3答案：1＋22

3111＋1＋的最小值为________．

2．(变设问)保持本例条件不变，则ab11a＋ba＋b1＋1＋＝1＋解析：

aba1＋bbaba12＋a2＋b＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．

＝2答案：9

[解题技法]

通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

(三)

消元法——利用基本不等式求最值

[例3]

已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

[解析]

法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，

因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥23xy，

x＋3y2所以3xy≤，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)2－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，

得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，

9－3y得x＝，

1＋y9－3y9－3y＋3y1＋y所以x＋3y＝＋3y＝

1＋y1＋y9＋3y231＋y2－61＋y＋12＝＝

1＋y1＋y12＝3(1＋y)＋－6≥2 1＋y1231＋y·－6 1＋y＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案]

6 [解题技法]

通过消元法利用基本不等式求最值的策略

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．

(四)

利用两次基本不等式求最值

[例4]

已知a＞b＞0，那么a2＋1的最小值为________．

ba－b[解析]

由a＞b＞0，得a－b＞0，

b＋a－b2a∴b(a－b)≤2＝4. ∴a2＋14≥a2＋2≥2 aba－b4a2·2＝4，

a242当且仅当b＝a－b且a2＝2，即a＝2，b＝时取等号．

a2∴a2＋1的最小值为4. ba－b[答案]

4 [解题技法]

两次利用基本不等式求最值的注意点

当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

[过关训练] 91．(2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．

x＋4解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，

99∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 x＋4x＋49x＋4·－4＝2，

x＋4

当且仅当x＋4＝故函数f(x)＝x＋答案：2 9，即x＝－1时取等号．

x＋49的最小值为2. x＋42．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．

解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，

1－x2所以y＝. 6xx＞0，由即1－x2y＞0，＞0

x＞0，6x

解得0＜x＜1. 1－x22x1所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 3x33x2x122·＝，

33x32x122当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

33x21222故x＋2y的最小值为. 3答案：22

3考点二

利用基本不等式解决实际问题[师生共研过关]

[典例精析] 某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－k(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产m＋1品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

[解]

(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

2所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，

m＋1每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，

8＋16xx－8－16x－m

所以2019年的利润y＝1.5x×

16＝－m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，16＋(m＋1)≥216＝8，

m＋1所以y≤－8＋29＝21，

16当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，

m＋1ymax＝21(万元)．

故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．

[解题技法] 利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[过关训练] 1．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

x＋10－x2由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2. 答案：25

2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度75x－130x＋4 900，x∈[50，80，x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝x12－60，x∈[80，120].21

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

解：(1)当x∈[50,80)时，y＝121(x－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有7575x1最小值，为×675＝9，当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有7560最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．

4 90012012088x＋x－130≥(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·x，当x∈[50,80)时，l＝y·x＝552 

4 9004 900x×x－130＝16，当且仅当x＝x，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.

1201 440当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为xx10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

考点三

基本不等式的综合应用[师生共研过关]

[典例精析] 41(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b＞0，c＞0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的bc最小值是(

) A．9

B．8

C．4

D．2 Sn＋8的最小值是an(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则________．

[解析]

(1)把圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b＞0，c＞0，

414cb41因此b＋c＝(b＋c)b＋c＝b＋c＋5≥2 当且仅当b＝2c，且b＋c＝1，

2141即b＝，c＝时，b＋c取得最小值9. 33(2)由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n＋82Sn＋8所以a＝

nn1611n＋＋1≥2 ＝n22169n·＋1＝2，

nn1＋n，

24cbb·c＋5＝9. 当且仅当n＝4时取等号．

Sn＋89所以a的最小值是. 2n9[答案]

(1)A

(2)

2[解题技法] 利用基本不等式解题的策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数

的值或范围．

[过关训练] a1．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(

) x1A.

2C．1

解析：选C

由题意可得a＞0，

a①当x＞0时，f(x)＝x＋x＋2≥2a＋2，

当且仅当x＝a时取等号；

a②当x＜0时，f(x)＝x＋x＋2≤－2a＋2，

当且仅当x＝－a时取等号，

3B.

2D．2 2－2a＝0，所以解得a＝1，故选C. 2a＋2＝4，182．已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值为________．

mn18181解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m＞0，n＞0，∴m＋n＝(n＋2m)m＋n4n16m1110＋m＋n≥×10＋2 ＝×449最小值是. 29答案：

2818n16m9＝，当且仅当4m＝n＝时取等号．∴m＋n的·3mn2