2.2.2 直线方程的几种形式教学设计

××××中学教学设计方案

年

月

日

星期

第

节

课

题

直线方程

章节

第七章

第一节

教学目知

识

目

标

能

力

目

标

德

育

目

标

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

教学重点

直线方程的五种形式

教学难点

直线方程的五种形式

教学方法

讲授法

学法指导

直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续复习“曲线方程”打下基础。

教

具

通过直线方程的学习培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力。

的

通过对直线方程的复习，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点。

直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，在复习过程中应充分揭示黑板、粉笔

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教学环节

(一) 高考要求

(二) 知识点

教

学

过

程

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

1．数轴上两点间距离公式：ABxBxA

2．直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2(x1x2)2(y1y2)2

3．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°，可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

4．直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α≠90°)。

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是(－∞,+∞) 5．直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量。

向量yy11）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的F1F2=（1，2x2x1x2x1斜率。特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1)。

6．求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα；

②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=y2y1；

x2x1n；

m平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank；

7．直线方程的五种形式

点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb

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教学环节

(三) 题型讲解

两点式：教

学

过

程

yy1xx1xy，

截距式：1

aby2y1x2x1一般式：AxByC0

例1已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程。

分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式。使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便。由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式。

解：①因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），

故B点在y轴上，C点在x轴上，

即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，

利用截距式，直线BC的方程为化为一般式为x－2y+6=0。

②由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3；

又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3故k=－yx+=1，

637；

3于是直线AB的方程为y=－7x+3，化为一般式为7x+3y－9=0；

3③由A（3，－4）、C（－6，0），

得直线AC的斜率kAC=404=－；

3(6)9利用点斜式得直线AC的方程为

y－0=－4（x+6），

9化为一般式为4x+9y+24=0。

点评：本题考查了求直线方程的基本方法。

例2已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程。

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教学环节

教

学

过

程

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：∵P（2，3）在已知直线上，

∴

2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0

∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即b1b22=－；

a1a23∴所求直线方程为y－b1=－2（x－a1）；

3∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0。

点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙。

例3一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：

(1)倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；

(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）；

分析：(2)将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可；

解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝18，tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y+6=0。

415(2)设直线方程为yx＋＝1，a＞0，b＞0，

ab623＋＝1≥2，得ab≥24，

abba代入P（3，2），得从而S△AOB＝此时1ab≥12，

2223b＝，∴k＝－＝－。

b3aa∴方程为2x+3y－12=0。

点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值。

例4过点(2,1)作直线l分别交x,y轴正并轴于A，B两点

(1)当ΔAOB面积最小时，求直线l的方程; (2)当|PA||PB|取最小值时，求直线l的方程

解：(1)设所求的直线l方程为xy1(a>0,b>0) ab由已知211，

ab

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教学环节

(四) 课堂练习

2教

学

过

程

211121于是ab=,∴SΔ AOB=ab4, 2ab24211当且仅当,即a=4,b=2时取等号，

ab2此时直线l的方程为yBPoAxxy1,即x+2y─4=0。

421,0)，B(0,1─2k)。

k(2)解法一：设直线l:y─1=k(x─2)，分别令y=0，x=0，得A(2─则|PA||PB|=(44k)(121122=4,当且仅当k=1，即k=±1)84(k)22kk时,取最小值，又k<0,∴k=─1, 此时直线l的方程为x+y─3=0

解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2),

∴|PA||PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ4, ∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA||PB|取最小值4,此时直线l的斜率为─1,方程为x+y─3=0

点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式。

1．过点(10,─4)且倾角的正弦为5/13的直线方程是

；

(5x─12y─98=0或5x+12y─2=0);注意两种情况

2．过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为

；

(x=1或3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围

3．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是

；

(1/2m1);从直线的斜率或截距去观察

4．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是

；

(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的使用范围

5．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是

；( ─1/3)。

解：由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上，则依题意O点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可。

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教学环节

板

书

设

计

直线方程

1．直线的倾斜角与斜率

一般式

2．直线方程

例题讲解

点斜式

例1

斜截式

例2 截距式

两点式

例3

1．直线的倾斜角和斜率；

本课小结

2．直线方程五种形式：点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式。

布置作业

课后练习册P30 练习十五

课后自评

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