2.3.1 圆的标准方程优秀教学设计

4.1.1 圆的标准方程

一、教学背景分析

1、教材分析：《圆的方程》安排在直线的方程之后，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用，圆的方程属于解析几何学的基础知识，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2、学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求直线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 二、教学目标：

1、探索并掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程，写出圆心和半径。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

三、教学重点：圆的标准方程

四、教学难点：

会根据不同的已知条件求圆的标准方程。

五、教学过程：

（一）创设情境——启迪思维

事先发给每位学生一幅画好的画，主题是《旭日东升》，画面上有海有山，请学生画上太阳将画面补充完整，然后展示几个学生的作品（画的圆位置有高有低，有大有小），师点评“其实每个人的心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点”，如果要想让大家画一个统一规格的圆（统一位置，统一大小），需要几个条件呢？（圆心——定位置、半径——定大小），在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的建立过程，应该如何建立圆的方程呢？

设计意图：增近师生情感交流，让学生体验数学的美，同时让学生亲身感知确定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆。

（二）深入探究——获得新知

我们前面用含有x,y的二元一次方程来表示直线，那么，应该怎样用含有x,y的方程来表示圆呢？

如图，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r，（其中a、b、r都是常数，r>0），这样，这个圆就唯一确定了，设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M具有什么特征呢？引导学生自己列出P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①

(xa)2(yb)2r

64A2M-55222(xa)(yb)r①式两边平方，得

②-2-4

若点M(x,y)在圆上，点M的坐标适合方程②

。反之，点M(x,y)的坐标适合方程②，就说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A的圆上。

我们得到圆的标准方程，(xa)2(yb)2r2

其中a,b为圆心，r为半径

特别地，当圆的圆心在原点O(0,0)，即a=0，b=0时圆的方程为x2y2r2

（三）应用举例——巩固提高

Ⅰ、直接应用

内化新知

练习1：（口答）根据已知条件写出下列圆的方程

（1）圆心在C（1，2），半径长为5；

（2）圆心在C（1，-2），半径长为3；

（3）圆心在原点，半径长为4；

（4）圆心在原点，半径长为1. 练习2：（口答）根据下列圆的方程，指出圆的圆心以及半径

(1) x22y3225 (2) x42y2249

(3) x2yb216 （4）xm2yn2a2(a0)

进一步提问，a0呢？a0呢？初步体验求圆的标准方程，关键是找出圆心和半径

设计意图：让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系。

练习3：求圆心在C（8，-3），且经过点M（5，1）的圆的标准方程，并判断下列各点在圆上、圆内还是圆外？

（1）A（8，2） （2）B（3,0） (3) C(4,-3) 总结点xy0222(xa)(yb)r与圆的位置关系的判断方法：

0,点x0,y0在圆上x0a2yob2r2；

点x0,y0在圆外x0a2yob2r2；

点x0,y0在圆内x0a2yob2r2。

设计意图：让学生明白其本质就是点到圆心的距离与半径大小的比较。

II．灵活应用

提升能力

例：ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的标准方程

分析：先几何画板动态演示，然后把作图过程转化成解题过程步骤如下：

方法一：①列出线段AB的垂直平分线l1的方程

②列出线段BC的垂直平分线l2的方程

③求出交点坐标，即圆心O ④求出半径r ⑤写出圆的方程

方法二：要求圆的标准方程，不如先设出它的方程来，再解出未知数。设该圆的方程为：(xa)2(yb)2r2，根据条件，三个点的坐标都满足该方程，列出式子，解出未知数：a,b,r即可。

解：设该圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则

5a21b2r22227a3br

2222a8br解出：a=2,b=-3,r=5 所以，圆的标准方程为(x2)2(y3)225

师：这种方法在数学中很常见，叫做待定系数法。就是要求什么就把未知数先设出来，然后根据条件列方程解出未知数来。（这种方法易于思考，易于列式子，难点就是解未知数时，有时会遇到困难，这就需要同学们有扎实的计算和观察能力，也需要同学们平时多多练习，数学总是熟能生巧的。）

通过例题，比较、归纳出求ABC外接圆的方程的两种方法：

①根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程。（利用几何性质确定圆心和半径）

②待定系数法：根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组

得到a、b、r的值，写出圆的标准方程。（利用代数方法求出圆心和半径）

思考:已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 机动安排，时间充裕则请学生仿照例题分析两种解题思路，反之，则留作课后作业。

方法一：几何画板动态演示，如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在一定在线段AB的垂直平分线m上，又已知圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，所以先求出AB的垂直平分线方程，和直线L的方程联立，解出圆心坐标，再计算出半径长等于CA或CB即可。这叫数形结合法。（教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6

方法二：待定系数法，首先设出圆的标准方程，然后将已知两点坐标代入得到两个方程，又将圆心代入直线L的方程列一个

方程，三个方程，三个未知数，解出即可。（背投展示解题过程）

（四）课堂小结：（提出以下几个问题）

（1）通过这节课你学到了什么？

（2）求圆的方程有几种方法？

（3）结合方程，如何判断点与圆的位置关系？

（4）数形结合的数学思想。

（五）布置作业：1、课本p130习题4.1第2、3、4题

2、思考：①把圆的标准方程展开后是什么形式？

②方程x2y22x4y10表示什么图形？

（六）板书设计：

4.1.1圆的标准方程

例1（解题思路）：

(xa)2(yb)2r2

方法二：………. ……………………………. 方法一：……………

其中(a,b)为圆心，r………………………. 为半径

………………………. 特别地，当圆心为……………………………

……………………原点a=0,b=0x2y2r2

O(0,0),即…………………

时，……………………………

……………………………. ……….