1.3 二项式定理（通用）教学实录

《二项式定理（第1课时）》教学设计

新疆巴州焉耆县第一中学 李红娟

一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二、学情分析

高二学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

三、教学目标

1.知识技能目标

（1）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（2）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

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培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。

四、教学重点、难点

重点：用两个计数原理分析(a+b)的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(a+b)的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

22五、教学过程

教学程序

问 题

问题导入：（自学指导）

ab的原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成的？有规律吗？学生根据乘法展开式也很快得出结论

2设计意图

师生活动

探究一（学生小组合作）：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3

②项的系数，考虑b，

3考察学生对因式展开的03学生说出自己的思路，老a：每个都不取b的情况有1种，即C ,各项形式及师做分析与讲解为后面0则a3前的系数为C3

系数的理解。

猜想做铺垫。

122Cb：恰有1个取的情况有种，则前abab3的系数为C3

恰有2个取b的情况有C3

种，则b2前ab2：的系数为C3

b3：恰有3个取b的情况有C3

种，则b3前3221的系数为C3所以

303122233

(ab)C3aC3abC3abC3b

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学生先观察总结特点：

探究二（自学检测）：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由1.项数是指数加1；

此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，让学生通过2.字母a按降指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出特例去观察幂排列，字母b按照升幂排他们的展开式。

并逐步掌握列，二者指数回答：

类比推理及之和是二项

培养学生解404132223344

(ab)C4aC4abC4abC4abC4b决问题的能式指数；3、每一项的系n0n1n1rnrr力。

(ab)CnaCnabCnab数有上面的nnCnb(nN*)

问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

探究三（自学检测）：

对于猜想(ab)n1n1Cn0anCnabCn2an2b2...

rnrrnnCnab...Cnb我们如何进行证明呢？

师生讨论证让学生体会明思路，通过

利用组合思阅读课本上想从特殊到的证明过程，一般，对猜想老师最后做给出严谨的出方法归类，理解如何用明的思路。并“说理”的方留下课下演式阐述证明练二项式定过程。

理的数学归纳法证明。

证明：每个(ab)(ab)n是n个(ab)相乘，在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是anrbr(r0,1,n)的形证明过程。并提示学生证式，对于每一项anrb，它是由r个(ab)选r了b，n－r个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的组r合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

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观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？（有学生完成）

学生继续总结这三点，以n1(1)项：二项展开式共有项；

兵教考察学生的强化已有的兵及(2)次数：各项的次数都等于n；

观察力，以及认识，同时老字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字后教分析问题的师强调：二项母b按升幂排列，次数由0递增到n 环节

能力和归纳式系数，与二k

能力。

(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

项展开式系knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

数的区别。

自学检测二

1.用-b代替b. （ab）的展开式

写出n对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。

学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。

2.令a=1,b=2x.

求（2x1)的展开式

4破解疑惑让学生在会展学生感受计开简单的二算的简单与项式的基础快捷，增强对上，递进式的数学学习的会解决先化热情，

熟悉二项式简在展开。

14求(3x)的展开式破解x疑惑

5精讲再探索对于（12x）的展开式

定理，以及对教师板演过二项式系数，程，给学生以展开式系数，示范，为后面精析

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多巩固少？

以及x的系数步骤的整洁新知

思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 问题的理解做铺垫。

与记忆。

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131、求（x)的展开式。x

当堂训练

熟悉二项式定理，二项式系数，二项展学生自主练开式系数，以习，反馈教学及通项的初效果，老师巡步应用，理解视做个别辅二项式展开导。

式的项的顺序。

学生说，教师让学生回顾课件演示，并课堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点，观强调：二项式小结

呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？

察学生掌握系数与二项情况。

5求（a2b）的展开式

基础型1、展开式系数的区别。

布置作业

求（x-y）的展开式

2、提升型

6让学生巩固本节课的所学内容和知

1、写出（3x

123x识。

)n的展开式。教学反思

1、

本节课采取我校“先学后教”模式：学习目标——自学指导——自学检测——当堂训练等环节，在自学检测环节采取学生小组合作方式，起到了小组内团结协作，共同进步的作用，后进生有了一定的学习动力。充分体现师学，生生的交流互动。

2、

以问题为主线，促进学生钻研课本，积极主动参与课堂学习。本节课在精心设置的问题驱动下，学生对课本知识的探究由表及里，逐步深入。以问题为主线组织教学活动，引导学生解决问题是教学成败的关键。本节课由ab，(a+b)3

从而猜想得到二项式定理的展开式，并充分发挥学生的主观能动性，让小组的同学归纳总结二项式的特征，适时启发学生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。

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