二 综合法与分析法课件配套优秀教案设计

二

综合法与分析法

1．综合法

(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．

(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (3)证明的框图表示：

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→……→Qn⇒Q

2．分析法

(1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．

(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．

(3)证明过程的框图表示：

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P1⇐P3→……→得到一个明显成立的条件

用综合法证明不等式

[例1] 已知a，b，c∈R＋，且互不相等，又abc＝1. 111求证：a＋b＋c<＋＋. abc[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有1bc<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明bc211＋根号，脱去根号可通过a＝即可．

[证明] 法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

11111111＋＋＋1bcacab111<＋＋＝＋＋. ab222abc∴a＋b＋c＝bc＋ac＋法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

1

111∴＋＋＝bc＋ca＋ab

abc22＝bc＋caca＋abab＋bc＋22＋22

>abc＋abc＋abc

＝a＋b＋c.

综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 证明：∵a，b，c∈R，

∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc. 222213c2＋a2≥2ca，

将以上三个不等式相加得：

2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，①

即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.②

在不等式①的两边同时加上“a＋b＋c”得：

3(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)，

12222即a＋b＋c≥(a＋b＋c).③

3在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：

(a＋b＋c)≥3(ab＋bc＋ca)，

12即(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca.④

312222由③④得a＋b＋c≥(a＋b＋c)≥ab＋bc＋ca. 3

[例2] a，b∈R＋，且2c>a＋b. 求证：c－c－ab

2222222222222222用分析法证明不等式

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[证明] 要证c－c－ab

只需证－c－ab

即证|a－c|

两边平方得a－2ac＋c

也即证a＋ab<2ac，即a(a＋b)<2ac. ∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，

∴a(a＋b)<2ac显然成立．

∴原不等式成立．

(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．

(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

2．求证：3＋7<25. 证明：∵3＋7>0,25>0，∴要证

3＋7<25. 只需证(3＋7)<(25). 展开得10＋221<20. 即证221<10，

即证21<25(显然成立)．

∴3＋7<25. 2213313．已知x>0，y>0，求证(x＋y)>(x＋y). 23221331证明：要证明(x＋y)>(x＋y)，

2322222222222只需证(x＋y)>(x＋y). 即证x＋3xy＋3xy＋y>x＋2xy＋y. 即证3xy＋3xy>2xy. ∵x>0，y>0，∴xy>0. 即证3x＋3y>2xy. ∵3x＋3y>x＋y≥2xy. ∴3x＋3y>2xy成立．

221331∴(x＋y)>(x＋y). 2322222222224224336422466336223332

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综合法与分析法的综合应用

[例3] 设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：a＋1＋b＋1≤6. [思路点拨] 所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．

[证明] 要证a＋1＋b＋1≤6，

只需证(a＋1＋b＋c)≤6，

即证(a＋b)＋2＋2ab＋a＋b＋1≤6. 3由a＋b＝1得只需证ab＋2≤，

21即证ab≤. 4由a0，a＋b＝1，

得ab≤2a＋b2＝1，即ab≤1成立．

424∴原不等式成立．

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．

(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

4．已知a，b，c都是正数，

求证：2a＋b－ab≤3a＋b＋c3. 23－abca＋b－ab≤3a＋b＋c3，

23－abc证明：要证233只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－3abc，即－2ab≤c－3abc. 3移项，得c＋2ab≥3abc.由a，b，c为正数，

3得c＋2ab＝c＋ab＋ab≥3abc成立．

∴原不等式成立．

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