阅读与思考 法国科学家柯西课堂实录

《法国科学家柯西》 教学设计

人教A版2003课标版

第三讲阅读与思考

一、教材内容分析

本节课来自于选修4-5第三讲的“阅读与思考”，介绍了法国数学家柯西的生平事迹和主要成就，它既是对人物的介绍同时也是第三讲《柯西不等式》的延伸。

二、教学目标:

1、

了解法国科学家柯西的生平事迹和主要成就

。

2、

掌握二维及n维柯西不等式，并能利用柯西不等式证明命题的成立，解决函数的最值问题。

3、

让同学们学习柯西身上那种对数学研究的执着精神，并将这种坚韧不拔的探索精神用于高考的复习中。

三、教学重点: 掌握二维及n维柯西不等式，并能利用柯西不等式证明命题的成立，解决函数的最值问题。

四、教学难点:

应用柯西不等式解题时的取等问题。

五、教学过程:

（一）介绍柯西的生平事迹和主要成就

柯西(Cauchy, Augustin Louis 1789-1857)，

法国数学家。他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西

是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩

1

涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本

人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他信仰罗马天主教,追随保皇党,终生坚守气节。

柯西在学术上成果颇丰，在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。

柯西是历史上有名的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往, 曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易

·

菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易

·

菲利普君主政体被推翻,成立了法兰西第二共和国,废除宣誓的规定,柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变,共和国又变成帝国,恢复了宣誓仪式,唯独柯西和阿拉果(Ｄ·Arago 1786-1853 法国物理学家)可以免除。

1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，

柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、

《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代

的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严

格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，

连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概

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念也建立在较为坚实的基础上。

现今所谓的柯西定义或ε－δ方法就是柯西在1821年提出，后经过维尔斯特拉斯的加工完成的。

（二）温故而知新

设计意图：通过课前自主复习，让学生巩固柯西不等式的代数形式、向量形式、三角形式。

定理1 二维形式的柯西不等式：

2若a，b，c，d为实数，则 (a2＋b2)(c2＋d )≥(ac＋bd)2

，当且仅当

ad＝bc 时，等号成立。

定理2 柯西不等式的向量形式：

设、为平面上的两个向量，且(a,b),(c,d)，则，当且仅当

和共线(平行) 时，等号成立. 定理3 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1,2,,n）为实数，则

222222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，

等号当且仅当bi0(i1,2,,n)

或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,,n)时，“=”成立。

(三)例题探究

例题1．

（1）已知a,b为实数，证明(a4b4)(a2b2)≥(a3b3)2．

（2）已知x,yR，xy1，求证：11≥4. xy设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用. （1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．

证明：由柯西不等式得

3

(a4b4)(a2b2)[(a2)2(b2)2](a2b2)≥(a2ab2b)2(a3b3)2

（2）分析：将证明：11与xy相乘，再利用柯西不等式．

xy11111()(xy)≥(xyxyxx1yy)24

例题2．（1）已知x2y1，求x2y2的最小值. （2）求函数y3x546x的最大值. 设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用. （1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．

证明：由柯西不等式得(x2y2)(1222)≥(x2y)21

所以x2y2≥.当且仅当，即x,y时，x2y2取最小值. （2）分析：由柯西不等式配凑出常数．

证明：由柯西不等式得3x546x所以3x546x≤5

当且仅当36x4x5，即x（四）随堂检测

（1）若a,b,c为正数，且abc1，求证：≥9. （2）已知a2b3c4d5，求a2b2c2d2的最小值. 设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用. （1）分析：将与abc相乘，再利用柯西不等式的一般形式．

111111证明：由柯西不等式得≥abcabc9

bcabca2222≤3415x1y2152515x5226x25

134时，函数y3x546x取最大值5. 251a1b1c1a1b1c又因为abc1，所以≥9. （2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式. 证明：由柯西不等式得

4 1a1b1c

a22b2c2d212223242≥a2b3c4d25

所以a2b2c2d2≥

当且仅当（五）高考链接

（2014.福建，21）已知定义在R上的函数f(x)x1x2的最小值为a.(1)求a的值；（2）若p,q,r是正实数，且满足pqra,求证：p2q2r23a1b2c35d1112，即a,b,c,d时，a2b2c2d2取最小值. 64632356

（六）机智升温

题1、已知x,y,zR,且x2y3z4,求x2y2z2的最小值。题2、2已知实数a,b,c满足a2bc1,a2b2c21，求证：c1

3题3、设2x3y5z29,求函数u2x13y45z6的最大值（七）课堂小结

学生总结

（八）、课后作业

《讲义》4-5高考真题演练1、2、3、4 六、教学反思

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