二 综合法与分析法设计意图

教学设计

3．2 均值不等式

整体设计

教学分析

均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．

本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．

鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．

三维目标

1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成

积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．

重点难点

a＋b教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥ab的2证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．

a＋b教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥ab等号成立条件的运2用，应用均值不等式解决实际问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．

思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．

推进新课

新知探究

提出问题

1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a2＋b2≥2ab吗？

3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个a＋b结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的叫做数a、b的2算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值

最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．

利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，

当a≠b时，有(a－b)2＞0. 当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab. 这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．

下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．

如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？

图1

(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：

a＋b≥ab. 2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．

还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R，则ab≤＋a＋b，当且仅当a2＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．

讨论结果：

(1)(2)略．

(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．

(4)若a、b∈R，则ab≤＋＋a＋b，当且仅当a＝b时，式中等号成立；

2若a、b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立；

若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．

应用示例

例1(教材本节例1) 活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例baba＋中的和相当于均值不等式中的a、b.因此必须有，∈R.abab[来源学科网]

点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯. 变式训练

已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ac＝8abc，

即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.

x－ya－b例2已知(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，求证：＋≥2. a－bx－yx－ya－b活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与互为倒数，a－bx－yx－ya－b它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题．

a－bx－y

证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，

∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx. ∴ax－ay＋by－bx＞0. ∴(ax－bx)－(ay－by)＞0. ∴(a－b)(x－y)＞0，

即a－b与x－y同号．

∴∴∴x－ya－b与均为正数．

a－bx－yx－ya－b＋≥2a－bx－yx－ya－b＋≥2. a－bx－yx－ya－bx－ya－b·＝2(当且仅当＝时取“＝”)．

a－bx－ya－bx－yx－y点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断a－ba－b与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．

x－ya＋b1例3若a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则(

) 22A．R＜P＜Q

B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R

D．P＜R＜Q 活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．

答案：B 解析：∵a＞b＞1，

∴lga＞lgb＞0. 11∴(lga＋lgb)＞·2lga·lgb，即Q＞P. 22a＋b又∵＞ab，

2∴lga＋b1＞lgab＝(lga＋lgb)．

22∴R＞Q.故P＜Q＜R. 点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．

例4(教材本节例2) 活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常

数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．

点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．

知能训练

1a1．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的(

) 8xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．

答案：

1a11．A

解析：一方面，当a＝时，对任意的正数x，有2x＋＝2x＋≥1；另一方面，8x8xaa1对任意正数x，都有2x＋≥1，只要2x＋≥22a≥1，即得a≥. xx82．[9，＋∞)

解法一：令ab＝t(t＞0)，

由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3，

解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9. 解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，

a＋3∴b＝(a＞1)．

a－1a＋3a＋3a＋3a－1＋4∴ab＝a·＝[(a－1)＋1]＝a＋3＋＝a－1＋4＋

a－1a－1a－1a－14＝a－1＋＋5≥2a－14a－1·＋5＝9. a－14当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9. a－1∴ab的取值范围是[9，＋∞)．

点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．

由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．

课堂小结

1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？

2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均a＋ba＋b数()，几何平均数(ab)及它们的关系(≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只22要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．

作业

习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2. 设计感想

1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．

2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．

(设计者：郑吉星) 第2课时

导入新课

思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，b∈R，那么a2a＋b＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么≥ab2a＋b(当且仅当a＝b时取“＝”)．在这个不等式中，为a，b的算术平均数，ab为a，b的2几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与a＋b≥ab2成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．

a＋b思路2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)与≥ab(a＞0，b＞0)的探究证2明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新

课．

推进新课

新知探究

提出问题

1回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？2均值不等式都有哪些方面的应用？3在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，a＋b仍然能使≥ab成立．

2两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．

在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．

本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：

(1)(2)略．

(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．

[来源:Z_xx_k.Com]

应用示例

例1(教材本节例3) 活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．

点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能. 变式训练

函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，12其中mn＞0，则＋的最小值为________．

mn

答案：8 解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)．

又∵A在直线上，

∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. 又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0. 122m＋n4m＋2n而＋＝＋

mnmnn4m＝2＋＋2＋≥4＋2×2＝8，

mn11当n＝，m＝时取“＝”．

2412∴＋的最小值为8. mn

51例2(1)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值；

44x－5(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．

1活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)·不是常数，所以4x－5应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函m2＋n2数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式2m＋n2≥()更简捷．

25解：(1)∵x＜，∴5－4x＞0. 411∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 4x－55－4x1当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．

5－4x∴当x＝1时，ymax＝1. (2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2

x－a＋b－x2a－b2≥2[]＝，

22a＋b当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．

2

a＋ba－b2∴当x＝时，ymin＝. 22点评：若x、y∈R，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求. 变式训练

已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是__________．

答案：3 ＋

xy解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为＋43ab＝1，设P(a，b)，则＋＝1(a＞0，b＞0)．

43ab＋432ab∴ab＝12··≤12()＝3，

4324b当且仅当“a＝”时等号成立．

3方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b. aPBbPA由相似三角形易得＝，＝，

4535abPB＋PA∴＋＝＝1.以下解法同一．

435

x2－3x＋1例3当x＞－1时，求函数f(x)＝的值域．

x＋1x2－3x＋1活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x＋1

x＋12－5x＋1＋55＝＝x＋1＋－5. x＋1x＋1这样就可以应用均值不等式了．

解：∵x＞－1，

∴x＋1＞0. x2－3x＋1x＋12－5x＋1＋55∴f(x)＝＝＝x＋1＋－5≥2x＋1x＋1x＋1－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．

另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．

点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可. 变式训练

已知x1·x2·x3·…·x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．

答案：22 006

解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，

同理，1＋x2≥2x2，

……

1＋x2 006≥2x2 006，

各式相乘，得

(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·x1·x2·x3·…·x2 006＝22 006. 取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，

∴所求最小值为22 006.

4例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝3x8－3x的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜时，35x＋1－5＝25x＋1

原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．

活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x－9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．

解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0. ∴f(x)＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝4，

24当且仅当3x＝8－3x，即x＝时取“＝”．

34∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝. 3又f(x)＝－9x2＋24x＝－3x－42＋16，

44∴当0＜x＜时，f(x)递增；当x＞时，f(x)递减．

334∴当0＜x＜时，原函数f(x)没有最大值．

3当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.[来源:Z.xx.k.Com]

点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．

知能训练

x1．函数f(x)＝的最大值为(

) x＋1212A.

B.

C.

D．1 52212．求函数y＝x＋(x＞0)的最小值，以及此时x的值．

x3．已知x、y∈R，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

答案：

1．B

解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝1，即x＝1时取等号．

x112．解：∵x＞0，∴x＋≥2·x·＝2，

xx1当且仅当x＝，即x＝1时取等号．x[来源学科网ZXXK]＋x＝x＋11≤，当且仅当x12x＋x1＝

1∴当x＝1时，x＋的值最小，最小值是2. x3．解：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0. 2x16∴x＋y＝＋x＝x－8＋＋10≥2x－8x－816x－8·＋10＝18，

x－816当且仅当x－8＝，即x＝12时，x＋y取最小值18. x－8

课堂小结

1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？

2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．

作业

习题3—2A组2、3、7、8、9；习题3—2B组3、4. 设计感想

1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．

2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．

3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．

备课资料

一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法) (1)设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，a1＋a2＋…＋

ann即A＝，G＝a1a2…an，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特n

a＋ba＋b＋c3别地，当n＝2时，≥ab；当n＝3时，≥abc. 23(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－A组数的算术平均值为A1，那么A1＝＝A，②第二组数的几nn何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝Aa2a3…an－1a1＋an－A，

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1·an，即G1＞G. 二、备用习题

1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(

) 11A．ab≤

B．ab≥

C．a2＋b2≥2

D．a2＋b2≤3 222．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy·

A．P＝Q

B．P＜Q

C．P≤Q

D．P≥Q 113．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是(

) 2fx110A．[，3]

B．[2，] 2351010C．[，]

D．[3，]233[来源学科网ZXXK]bd＋，则(

) xy

4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．

5．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积最小时l的方程．

6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝920v(v＞0)．

v＋3v＋1 6002(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

参考答案：

a2＋b2＋a2＋b2a2＋b2＋2aba＋b21．C

解析：对于选项C：a＋b＝≥＝＝2.故C正确．

222222．C

解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，

∴Q＝ax＋cy·＝bd＋

xyadxbcyab＋cd＋＋

yx≥ab＋cd＋2abcd ＝ab＋cd＝P. 13．B

解析：令t＝f(x)，则t∈[，3]．

2110∴F(x)＝G(t)＝t＋.该函数在t＝1处取得最小值2，在t＝3处取得最大值. t3故选B. 4001 6004．20

解析：设一年总费用为y万元，则y＝4·＋4x＝＋4x≥2xx1 600160，当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．

x5．解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k(k＜0)．

令x＝0，得y＝1－2k；

2k－11令y＝0，得x＝＝2－. kk111∴S△AOB＝(1－2k)(2－)＝2＋＋(－2k)．

2k－2k∵k＜0，∴－2k＞0. 11∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－＝－2k，即k＝－时取等号．

2k21此时l的方程为y＝－x＋2. 26．解：(1)依题意，得y＝920920920≤＝，

1 6003＋21 600833＋v＋v1 600·4x＝x1 600当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，

v所以ymax＝920≈11.1(千辆/时)．

83920v(2)由条件得2＞10，

v＋3v＋1 600整理，得v2－89v＋1 600＜0，

即(v－25)(v－64)＜0，

解得25＜v＜64. 答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．