复习参考题教学设计及课堂实录

第十六章

计数原理章末复习

一、考纲导读

1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题。2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

二、命题走向

本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考查。

考查形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2010年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三、知识网络

排列概念

两个计数原理

排列

排列数公式

应用

组合概念

组合

组合数公式

组合数性质

排列组合

二项式定理

二项式定理

通项公式

应用

二项式系数性质

一、复习目标：掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析解决一些简单的应用问题。二、重难点：理解和掌握分类计数原理与分步计数原理，并能灵活运用。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳

四、教学过程

（一）谈考纲要求及新课标及高考命题考查情况，促使积极参与。

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（二）知识梳理，方法定位

1、分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．2、分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．3、排列数与组合数公式及性质。

4.二项式定理. （三）、真题回访

1.(2017年全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(

).

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种

【解析】由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为××=36(种),或列式为××=3××2=36(种).故选D.

【答案】D

2.(2016年全国Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

).

A.24

B.18

C.12

D.9

【解析】从E到G需要分两步完成:先从E到F,再从F到G.从F到G的最短路径,只要考虑纵向路径即可,一旦纵向路径确定,横向路径即可确定,故从F到G的最短路径共有3条.如图,从E到F的最短路径有两类:先从E到A,再从A到F,或先从E到B,再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同,所以从A到F,从B到F最短路径的条数都是3,所以从E到F的最短路径有3+3=6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3=18.

【答案】B 3.(2017年全国Ⅰ卷)(1+x)展开式中x的系数为(

).

62A.15

B.20

C.30

D.35

【答案】C

25524.(2015年全国Ⅰ卷)(x+x+y)的展开式中,xy的系数为(

).

A.10

B.20

C.30

D.60

2525【解析】(x+x+y)=[(x+x)+y],

2

含y的项为T3=2235(x+x)·y.

232其中(x+x)中含x的项为所以xy的系数为52x4·x==30.故选C.

x5.

【答案】C

（四）、当堂检测

1.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(

) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种

根据分类加法计数原理得：共有24＋36＝60(种). 2.(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)9的展开式中x3项的系数为(

) A.120 B.119 C.210 D.209 答案：D 3.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法种数是_____. 答案：144 4.若二项式

的展开式中的二项式系数为64，则展开式中的常数项为______. 答案：240

（五）小结：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用。两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成。（六）、强化巩固训练：某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．【解】：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种。

（七）、作业布置：复资P152随堂练习中2、4、5、6 变式训练中1、2

223x－

x

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