3.1.2 复数的几何意义课堂实录及点评

3.1.2 复数的几何意义

1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．

2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点) 3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)

[基础·初探] 教材整理

复数的几何意义及复数的模

阅读教材P52～P53内容，完成下列问题．

1．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

一一对应(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――――→

复平面内的点Z(a，b)．

一一对应→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ――――→

平面向量OZ. →为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．

3．复数的模

→22向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且r＝a＋b(r≥0，且r∈R)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(

)

1

(2)复数的模一定是正实数．(

) (3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.(

) 【解析】

(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2. (2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．

(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．

【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

[小组合作型]

2复数与复平面内点的关系

已知复数z＝(a－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．

(1)在实轴上；

(2)在第三象限；

(3)在抛物线y＝4x上．

【精彩点拨】

解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．

【自主解答】

复数z＝(a－1)＋(2a－1)i的实部为a－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a－1,2a－1)．

(1)若z对应的点在实轴上，则有

12a－1＝0，解得a＝. 2(2)若z对应的点在第三象限，则有

a－1<0，2a－1<0，22222

21解得－1

则有(2a－1)＝4(a－1)，即4a－4a＋1＝4a－4，

5解得a＝. 4

222

2

复数与点的对应关系及应用

(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．

(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论．

[再练一题] 1．在复平面内，若复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围. 【导学号：81092039】

【解】

复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i的实部为m－m－2，虚部为m－3m＋2. (1)由题意得m－m－2＝0，

解得m＝2或m＝－1. m－m－2<0，(2)由题意得2m－3m＋2>0，－12或m<1，22222222

∴－1

∴m＝2. 22

复数与向量的对应关系

→

(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的点分别为Z1和Z2，且OZ1⊥OZ2，则a的值为________．

→→(2)已知向量OA对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量OA1平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2. ①求向量OA1对应的复数；

②求点A2对应的复数．

【精彩点拨】

(1)利用复数与向量的对应关系，转化为向量的数量积求解．

(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解．

3 →→

【自主解答】

(1)依题意可知OZ1＝(－3,4)，OZ2＝(2a,1)，

因为OZ1⊥OZ2，所以OZ1·OZ2＝0，

2即－6a＋4＝0，解得a＝. 32【答案】

3→(2)①因为向量OA对应的复数是4＋3i，

所以点A对应的复数也是4＋3i，

因为点A坐标为(4,3)，

所以点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，

→故向量OA1对应的复数是4－3i. →→→②依题意知OA1＝AA2，而OA1＝(4，－3)，

设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，

所以x＝8，y＝0，即A2(8,0)．

所以点A2对应的复数是8.

→→→→→→

1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

[再练一题] →→2．在复平面内，O是原点，若向量OA对应的复数z的实部为3，且|OA|＝3，如果点A→关于原点的对称点为点B，求向量OB对应的复数．

【解】

根据题意设复数z＝3＋bi(b∈R)，

→→22由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA＝(3，b)，已知|OA|＝3，即3＋b＝3，

解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)．

因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)，

4

→所以向量OB对应的复数为z′＝－3. [探究共研型]

复数模的几何意义及应用

探究1 若z∈C，则满足|z|＝2的点Z的集合是什么图形？

→【提示】

(1)因为|z|＝2，即|OZ|＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．

探究2 若z∈C，则满足2<|z|<3的点Z的集合是什么图形？

|z|>2，【提示】

不等式2<|z|<3可化为不等式组|z|<3，

不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．

因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．

13

已知复数z1＝－3＋i，z2＝－－i. 22(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；

(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？

【精彩点拨】

(1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a＋b. (2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．

【自主解答】

(1)|z1|＝|z2|＝－3222＋1＝2. 23－12＋2－2＝1. 2∵2＞1，∴|z1|＞|z2|. (2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，

则1≤|z|≤2.

因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解

5

集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．

1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小．

2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．

3．|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．

[再练一题] 3．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是________．

【解析】

由|z|<2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z＝1＋ai知z对应的点在直线x＝1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知－3

【答案】

(－3，

3)

→→1．在复平面内，若OZ＝(0，－5)，则OZ对应的复数为(

) A．0 C．－5i B．－5 D．5 →【解析】

OZ对应的复数z＝0－5i＝－5i.

6

【答案】

C 2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

π【解析】

∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0. 2故z＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．

【答案】

D 3．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|是(

) A．5 C．6 【解析】

|z|＝【答案】

D 4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．

【解析】

∵|z|＝22，

∴22B．8 D.11 ＋－2＝11. x－22＋y＝22，

2∴(x－2)＋y＝8. 【答案】

(x－2)＋y＝8 5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 【导学号：81092041】

【解】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则|z|＝a＋b，

代入方程得，a＋bi＋a＋b＝2＋8i，

2222222a＋a2＋b2＝2，∴b＝8，∴z＝－15＋8i.

a＝－15，解得b＝8.

学业分层测评

(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题

1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(

) A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i

7

【解析】

由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i. 【答案】

C 2．复数z＝1＋3i的模等于(

) A．2 C.10 22B．4 D．22 【解析】

|z|＝|1＋3i|＝1＋3＝10，故选C. 【答案】

C 3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(

) A．(－1,1) C．(0，＋∞)

2B．(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】

∵|z1|＝a＋4，|z2|＝5，

∴a＋4<5，∴－1

A →4．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的→对称点为B，则向量OB对应的复数为(

) A．－2－i C．1＋2i B．－2＋i D．－1＋2i 2→【解析】

因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i. 【答案】

B 5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z为

(

) 【导学号：81092042】

A．－5＋2i C．－5＋3i B．－5－2i D．－5－3i －52【解析】

设z＝－5＋bi(b∈R)，由|z|＝数z对应的点在第二象限，则b＝2，

∴z＝－5＋2i. 【答案】

A 二、填空题

＋b＝3，解得b＝±2，又复26．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________. 【解析】

由题意知z＝－3＋4i，

∴|z|＝

－2＋4＝5. 28

【答案】

5 7．已知复数x－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．

x－6x＋5<0，【解析】

由已知得x－2<0，22

1

∴1

(1,2) →→→8．已知△ABC中，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC对应的复数为________．

→→【解析】

因为AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，

→→所以AB＝(－1,2)，AC＝(－2，－3)．

→→→→又BC＝AC－AB＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC对应的复数为－1－5i. 【答案】

－1－5i

三、解答题

9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？

【解】

∵|z|＝2，

∴x＋22＋y－22＝2，

即(x＋3)＋(y－2)＝4. ∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．

10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m－5m－14)i的点：

(1)位于第四象限；

(2)位于第一、三象限；

(3)位于直线y＝x上．

m－3>0，【解】

(1)由题意得2m－5m－14<0，2

得3

m－3>0，(2)由题意得2m－5m－14>0

m－3<0，或2m－5m－14<0，

∴m>7或－2

此时复数z对应的点位于第一、三象限．

(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需

m2－5m－14＝m－3，

9

∴m－6m－11＝0，

∴m＝3±25，

此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．

[能力提升] 1．已知a∈R，且0

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

2【解析】

∵00，且a－1<0，

故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．

【答案】

D 2．已知实数a，x，y满足a＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是

(

) A．直线

B．圆心在原点的圆

C．圆心不在原点的圆

D．椭圆

【解析】

因为a，x，y∈R，所以a＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a＋2a＋2xy＋(aa＋2a＋2xy＝0，＋x－y)i＝0，所以a＋x－y＝0，222222

消去a得(y－x)＋2(y－x)＋2xy＝0，即x＋y222－2x＋2y＝0，亦即(x－1)＋(y＋1)＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．

【答案】

C 3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝________. 【解析】

依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5，得a＋4a＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 【答案】

1＋2i或－1－2i 1313→→→4．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量OZ1，OZ2，OZ3，2222并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．

【解】

根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，22Z3的坐标分别为，OZ3如图所示．

→12331→→，(－1,0)，，－，则向量OZ1，OZ2，222

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|z1|＝12＋32＝1，

22312＋2－2＝1. 2|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．

11