3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学评价实录

授课题目

3.2.2复数代数形式的乘除运算

授课时间

知识与技能：理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则过程与方法;理解并

掌握复数的除法运算实质是分母实数化的问题。

教学目标

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，

学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点

复数代数形式的乘除运算。

教学难点

对复数除法法则的运用。

教学方法

自主探究法，讲授法

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一：

课堂导入

复习回顾复数代数形式的加减运算

问题1：设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？

学生类比实数(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 的乘法运算推问题2：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法将广探究复数代其展开，则z1·z2等于什么？

1.乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把i2换成－1，然后实、虚部分别合并. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)乘法的交换律z1·z2＝z2·z1

(2)乘法的结合律z1(z2z3)=(z1z2)z3

数形式的乘法运算和运算规则，再通过简单的复数代数形式的乘法运算巩固上节课的知识，同时为本节课的知识做铺垫

环节二：

新课讲授

通过问题串的形式进行探究有助于提升学生的学习兴趣，设置学会运用计算；问题导向性学习有助于学生自主探究

了解共轭复数的概念；类比复数代数形式的乘法运算探究复数代数形式证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，的除法运算和a3，b1，b2，b3∈R).

∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. 运算法则，再通过简单的复数代数形式的除法运算学会运用计算

计算1：(1)(1i)(32i)(2)(32i)(1i)(3)[(12i)(1i)](2i)(4)(12i)[(1i)(2i)]

2.

共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

口答：说出下列复数的共轭复数

⑴z=2+3i

⑵z= -6i

⑶z= 3 注意：⑴当虚部不等于0时的共轭复数也称共轭虚数；

⑵实数的共轭复数是它本身

问题3：若z1 , z2是共轭复数，那么

⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

⑵z1·z2是一个怎样的数？

设z1abi,z2cdi(cdi0),问题4：则z1_____?________.z2

4.

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：

(a+bi)(c+di)或者abi

cdi5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,c2d2解这个方程组，得

ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad

i. c2d2c2d2②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将化得：原式

=abi的分母有理cdiabi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)icdi(cdi)(cdi)c2d2

. (acbd)(bcad)iacbdbcad22i2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

计算2：(1+2i) ÷(3-4i)

1、计算：

（1）(1-2i)(3+4i)(-2+i)；（2）(3+4i) (3-4i) ；

环节三：

巩固训练

（3）（1+ i)2；(14i)(1i)24i

34i（4）独立完成例题的解答，应用新通过例题加深学生对复数的理解和应用，从根本上内化为自身的知识点

1z1课内容

2、已知z是虚数，且z+是实数，求证：zz1是纯虚数.

1.复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2.怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3.复数除法的运算法则是什么？

环节四

：

小结与反馈

回忆本节课的重要知识点，

进一步加深对本节课的记忆

2－i1．复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的2＋i点位于(

D

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

环节五：

随堂检测

2．如果复数z＝2，则(

C

) －1＋i独立完成

A．|z|＝2

B．z的实部为1 C．z的虚部为－1

D．z的共轭复数为1＋i 2＋ai3．若a为实数且＝3＋i，则a＝(

D

) 1＋iA．－4

B．－3

C．3

D．4 4．i是虚数单位，i608＝(

B

) A．－i

B．I

C．1

D．－1检测学生对本节课的掌握情况，及时解决不懂的问题