复习参考题说课稿【一等奖】

3.1.2 复数的几何意义

→学习目标

1.了解复数z、复平面内的点Z、向量OZ之间的一一对应关系.2.理解并掌握复数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力．

知识点一

复平面的定义

思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？

答案

任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．

思考2 判断下列命题的真假：

①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；

⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．

答案

①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以⑤错．

梳理

如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

知识点二

复数的几何意义

思考

平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？

答案

向量的起点是原点．

梳理

复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点→的向量OZ是一一对应的．

1

知识点三

复数的模

思考

(1)复数的模一定是正数吗？

(2)若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？

答案

(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0.

当z＝0时，|z|＝0；

反之，当|z|＝0时，必有z＝0. (2)点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆．

→→梳理

复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ，则向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a＋b(r≥0，r∈R)．

1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √

) 2．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×

) 22

类型一

复平面的相关概念

例1 (1)对于复平面，下列说法错误的是(

) A．实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上

B．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上

C．第一象限的点都表示实部为正数的虚数

D．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

(2)下列命题为假命题的是(

) A．复数的模是非负实数

B．复数等于零的充要条件是它的模等于零

C．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件

D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2| 考点

复数的模的定义与应用

2

题点

利用定义求复数的模

→(3)向量OZ＝(0，－3)对应的复数是________．

考点

复数的几何意义

题点

复数与向量的对应关系

(4)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________. 考点

复数的模的定义与应用

题点

利用定义求复数的模

答案

(1)B (2)D (3)－3i (4)5 解析

(1)原点是虚轴上的点，但它表示实数．

(2)D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．

→(3)易知向量OZ对应的复数为－3i. (4)|z|＝4＋1＝5. 反思与感悟

确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．

跟踪训练1 已知复数z＝m－2－(4－m)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为(

) A．0B．2C．－2D．±2

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

B 解析

当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2. 类型二

复数的几何意义

例2 实数x分别取什么值时，复数z＝(x＋x－6)＋(x－2x－15)i对应的点Z在：

(1)第三象限；

(2)直线x－y－3＝0上．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

解

因为x是实数，所以x＋x－6，x－2x－15也是实数．

x＋x－6<0，(1)当实数x满足2x－2x－15<0，222222

即当－3

(2)z＝x＋x－6＋(x－2x－15)i对应点Z(x＋x－6，x－2x－15)，

2222

3

当实数x满足(x＋x－6)－(x－2x－15)－3＝0，

即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．

引申探究

若本例中的条件不变，其对应的点在：

(1)虚轴上；(2)第四象限．

解

(1)当实数x满足x＋x－6＝0，

即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．

x＋x－6>0，(2)当实数x满足2x－2x－15<0，2222

即当2

反思与感悟

按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．

跟踪训练2 (1)当0

) A．第一象限

C．第三象限

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

D 解析

z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，

∵0

∴点(m＋1，m－1)位于第四象限．

→→→→(2)已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．

考点

复数的几何意义

题点

复数与向量的对应关系

→→解

因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，

→→所以OZ1＝(－3,4)，OZ2＝(2a,1)．

→→→→因为OZ1与OZ2共线，所以存在实数k，使得OZ2＝kOZ1，

B．第二象限

D．第四象限

2a＝－3k，即(2a,1)＝(－3k,4k)，所以1＝4k，

1k＝，4所以3a＝－8.

4

3故a的值为－. 8类型三

复数的模

命题角度1 复数模的基本运算

例3 (1)如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是(

) A．(－22，22) C．(－1,1) 考点

复数的模的定义与应用

题点

利用模的定义求复数

ππ(2)若复数z＝sin－icos，则|z|＝________. 36考点

复数的模的定义与应用

题点

利用定义求复数的模

答案

(1)D (2)6

22B．(－2,2) D．(－3，3) 解析

(1)因为|z|<2，所以1＋a<2，

则1＋a<4，所以a<3，

解得－3

2263232＋－＝2. 2222所以|z|＝反思与感悟

复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解．

13跟踪训练3 设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1与z2. 22考点

复数的模的定义与应用

题点

利用模的定义求复数

解

设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，

13则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，

2213∴a＋c＝，且b＋d＝，

2213∴a＝－c，b＝－d，

22

5

13∴z1＝－c＋－di，z2＝c＋di. 22∵|z1|＝|z2|＝1，

∴1－c2＋32＝c2＋d2＝1，

2－d2c＝1，d＝0，1解得a＝－，23b＝2

3或d＝，2a＝1，b＝0.c＝－，122

1313∴z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i. 2222命题角度2 复数模的几何意义

ππ例4 已知z＝cos＋isin，i为虚数单位，那么在平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点44的轨迹是(

) A．圆面

B．以点C为圆心，半径等于1的圆

C．满足方程x＋y＝1的曲线

122D．满足方程(x－1)＋(y－2)＝的曲线

2考点

复数的几何意义的综合应用

题点

利用几何意义解决轨迹、图形

答案

B ππ解析

由z＝cos＋isin，

44得|z|＝1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x－1)＋(y－2)＝1，

该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆．

反思与感悟

对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．

跟踪训练4 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，复数z的虚部为3，且|z|＝2，若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝________. 考点

复数的模的定义与应用

222

6

题点

利用复数的模的定义求复数

答案

－1＋3i b＝3，解析

由已知得2a＋b2＝4，

a＝±1，∴b＝3.

又∵复数z对应的点在第二象限，

∴a＝－1，则z＝－1＋3i.

1．复数z与它的模相等的充要条件是(

) A．z为纯虚数

C．z是正实数

考点

复数的模的定义与应用

题点

利用定义求复数的模

答案

D 解析

由z＝|z|，故z∈R且z≥0.

2．已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是(

) A．e1对应实数1，e2对应虚数i B．e1对应虚数i，e2对应虚数i C．e1对应实数1，e2对应虚数－i D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i 考点

复数的几何意义

题点

复数与向量的对应关系

答案

A 解析

e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

3．若复数(m－3m－4)＋(m－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

－1或4 解析

由题意知m－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4. 4．若复数z＝3a－6i的模为40，则实数a的值为________．

考点

复数的模的定义与应用

题点

利用模的定义求复数

7 222B．z是实数

D．z是非负实数

2答案

±

322解析

由|z|＝9a＋36＝40，解得a＝±. 35．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

考点

复数的模的定义与应用

题点

利用模的定义求复数

解

方法一

∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝3＋a，

由已知得3＋a<4，

∴a<7，∴a∈(－7，7)．

方法二

由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

222222

∴线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，

由图可知－7

1．复数的几何意义

这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径．

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；

→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因→为复平面上与OZ相等的向量有无数个．

2．复数的模

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a＋b；

(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．

22

8

一、选择题

→→1．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数(

) A．等于0 B．等于－3 C．在虚轴上

D．既不在实轴上，也不在虚轴上

考点

复数的几何意义

题点

复数与向量的对应关系

答案

C →解析

OZ对应的复数为－3i. 2．复数z＝－1＋2017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

B 解析

复数z＝－1＋2017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点为(－1,2017)，位于第二象限．

3．已知复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则(

) A．a≠2或a≠1

C．a＝2或a＝0 考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

C 解析

由题意知a－2a＝0，解得a＝0或a＝2. 4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(

) A．1或3 C．3 考点

复数的模的定义与应用

题点

利用模的定义求复数

答案

A

9 222B．第二象限

D．第四象限

B．a≠2或a≠－1 D．a＝0 B．1 D．2

解析

由题意知|z|＝m－3＋m－1＝2，

解得m＝1或3. 5．复数z1＝1＋3i，z2＝1－3i在复平面内对应的点关于(

) A．实轴对称

B．虚轴对称

C．一、三象限的平分线对称

D．二、四象限的平分线对称

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

A 解析

由两复数实部相等，虚部互为相反数，得复数z1＝1＋3i，z2＝1－3i在复平面内对应的点关于实轴对称．

6．已知0

) A．(1,5) C．(1，5) 考点

复数的模的定义与应用

题点

利用定义求复数的模

答案

C 解析

由已知得|z|＝a＋1. 由0

∴|z|＝a＋1∈(1，5)．故选C. 7．若A，B是锐角三角形ABC的两内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i在复平面内所对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

B 解析

∵A，B是锐角三角形ABC的两内角，

π∴A＋B>，

2ππππ∴A>－B，且A∈0，，－B∈0，，

2222B．第二象限

D．第四象限

222222B．(1,3) D．(1，3)

10

∴sinA>sinπ－B，

2即sinA>cosB，∴cosB－sinA<0. 同理可得sinB>cosA，

∴sinB－cosA>0，

∴z在复平面内所对应的点位于第二象限．

二、填空题

8．设z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)对应，当b＝________时，点Z位于实轴上．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

0 解析

当b＝0时，复数z＝a＋bi＝a为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上．

9．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

5 解析

由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5. 10．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________. 考点

复数的模的定义与应用

题点

由复数模的定义求复数

答案

－15－8i或15－8i 解析

设复数z＝a－8i(a∈R)，

∵a＋－8＝17，∴a＝225，

∴a＝±15，∴z＝－15－8i或15－8i. 11．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

答案

13 解析

复数z＝－5－12i在复平面内对应的点为(－5，－12)，

所以所求距离d＝13. 三、解答题

12.在复平面内，A，B，C，D，E，F六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)．指出222

11

各点表示的复数，并对这些复数进行归类．

考点

复数的几何意义

题点

复数与点的对应关系

解

由图中所给点的位置可得A点对应的复数为1＋i，B点对应的复数为3i，C点对应的复数为－2＋2i，D点对应的复数为－2－2i，E点对应的复数为－2i，F点对应的复数为2. 对复数进行分类可得，虚数有A点对应的复数1＋i，B点对应的复数3i，C点对应的复数－2＋2i，D点对应的复数－2－2i，E点对应的复数－2i.其中，纯虚数有B点对应的复数3i和E点对应的复数－2i. 实数有F点对应的复数2. 13．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．

考点

复数的几何意义的综合应用

题点

利用几何意义解决轨迹、图形问题

解

因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，

由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，

即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．

又B＝{z||z|<1，z∈C}，

所以∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．

因为z∈A∩(∁UB)等价于z∈A且z∈∁UB，

|z|≤1，所以|z|≥1，

解得|z|＝1. 由模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．

四、探究与拓展

14．已知z1，z2是复数，以下结论正确的是(

) ①若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0；

②若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0；

→→③若|z1|＝|z2|，则向量OZ1和OZ2重合．

A．仅②正确

C．仅①②正确

B．仅②③正确

D．仅③正确

12

考点

复数的几何意义

题点

复数与向量的对应关系

答案

A 解析

①z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2.②|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝→→→→0.③|z1|＝|z2|，说明|OZ1|＝|OZ2|，但OZ1与OZ2方向不一定相同．所以仅②正确．故选A. 15．设z＝a＋bi(a，b∈R)，求在复平面内满足下列条件的点的集合所组成的图形．

(1)|a|<2，且|b|<2；

(2)|z|≤2，且|b|>1；

(3)|z|＝2，且a>b. 考点

复数的几何意义的综合应用

题点

利用几何意义解决轨迹、图形问题

解

(1)在复平面内，满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条平行直线x＝±2之间的部分(不包括两条直线)，满足不等式|b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y＝±2之间的部分(不包括两条直线)，两者的公共部分即为所求，即以原点为中心，边长等于4，各边分别平行于坐标轴的正方形区域，但不包括边界，如图①所示．(2)不等式|z|≤2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界，满足条件|b|>1的点的集合所组成的图形是直线y＝1以上及直线y＝－1以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以2为半径的圆被直线y＝±1所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图②所示．(3)方程|z|＝2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆周，满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y＝x下方的半平面，其中不包括直线y＝x上的点，两者的公共部分即为所求，如图③所示．

13