一 数学归纳法教学设计(第一课时)

课题：数学归纳法

湖南省衡南县第五中学：郑国祥

教材分析

1、教学内容：数学归纳法是数学选修4-5第三章第1节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

教学目标

1、知识与技能：

（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：

努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，

1

小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

教学重点

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

教学难点

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学手段 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；

教学过程

第一阶段：创设问题情境，启动学生思维

问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的

完全归纳法 问题2、法国数学家费马观察到：

2215,22117,221257,22165537 *2归纳猜想：任何形如21

（n∈N）的数都是质数，这就是著名的134n费马猜想。 不完全归纳法

2

2F216416700417半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数55不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”

通过对上述问题的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣

1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：

探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件

引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。

2、引导学生概括, 形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k (k∈N，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时*结论也正确．（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．

第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程

例1：用数学归纳法证明：1

35

(2n1)n2(nN*).3

证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。

(2)假设当n=k时等式成立，

即 1+3+5+…+(2k-1)=k2

则

当n=k+1 1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1] =k2+[2(k+1)-1] =(k+1)2

∴，当n=k+1时，等式也成立

由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N都成立

注：在用数学归纳法证题时注意以下三句话

“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。”

练习1：用数学归纳法证明122232n2n(n1)(2n1)6证明：（1）当n=1时，左边121，

右边1(11)(211)6，等式成立。

（2）假设当n=k时，等式成立，即122232k2k(k1)(2k1)6

则当n=k+1时，左边=

122233k2k12

k(k1)(2k1)6(k1)216(k1)k(2k1)6(k1)16(k1)(2k27k6)16(k1)(k1)12(k1)1

=右边

n=k+1时等式也成立。

由（1）、（2）可知，n∈N*时，等式成立。

4

即当

师生共同总结：

1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；

3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。

练习2 111用数学归纳法证明1++++234+1n（nN，n1）时第一步应验证的不等式是n2-11+11+2；由于n=k(k>1)不等式成立，推理n=k+1时，左边应23111nnn2122增加的项数是 2练习3 纠错

11

用数学归纳法证明122312n11。

1n(nN*)n(n1)n1证明：①当n=1时,左边=

此时，原等式成立。

1111 右边==

1+12122

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立

，即

111223那么n=k+1时

1k(k1)kk1

5

左边(112)(1213)(11k1k2)11k1k2(k1)1=右边

这就是说，当n=k+1时,命题也成立.

由

①②知,对一切正整数n,原等式均正确

没有用上“假设”故不是数学归纳法

改：证明：①当n=1时,左边=

11212 右边=111+1=2

此时，原等式成立。

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立

，即

1k121231k(k1)k1

那么n=k+1时

11212311k(k1)(k1)(k2)k1kk1(k1)(k2)1(k1)1=右边

这就是说，当n=k+1时,命题也成立.

由

①②知,对一切正整数n,原等式均正确

这才是数学归纳法。

(2)1*1211n(n1)n

23n1(nN)111

证二：左边=(12)(23)(11nn1)

11n1nn1=右边，所以原等式成立。

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课堂小结

（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。

（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：

1°验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立

2°假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，

由1°和2°对任意的n≥n0, n∈N* 命题成立。

（3）本节课通过从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念，揭示了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

（4）本节课使用数学归纳法只证明了与正整数有关的等式成立的问题，在以后的学习中，我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式及几何问题，也会遇到n0的取值不是1的情况。在下一节课我们还将通过具体的例子使同学们明白为什么在使用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可。

作业

1.

习题2.3 A组 1.2.3 板书设计

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